Bilet_19-24_29_30_linal (1) (Теория по лекциям ДУБОГРАЙ. Все по БИЛЕТУ)

Билет 19

1. Дайте определение ортонормированного базиса Евклидова пр-ва. Опишите процесс ортогонализации системы в-ов (Грама-Шмидта). Докажите теорему о существовании в n-мерном евклидовом пр-ве ортонормированного базиса.

Опр.1 Базис ЕП-ва наз-ся ортогональным, если все его в-ры попарно ортогональны.

Опр.2 Ортогональный базис наз-ся ортонормированным, если нормы всех в-ов равны 1.

П роцесс ортогонализации: Пусть в ЕП-ве выбрана система в-ов , где попарно не ортогональны (хотя бы не все). Построим новую систему в-ов попарно ортогональных и таких, что каждый из системы в-ов ЛК в-ов . Допустим . Возьмем , a , потребуем чтобы , т.к. Возьмем ЛК . Потребуем чтобы

при котором вектор ортогонален . Методом математической индукции можно док-ть, что , .

Все эти в-ры попарно ортогональны и явл-ся ЛК в-ов (1)

Теорема: в любом Евклидовом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис

Док-во: дано ЕП-во, выберем некоторый базис и применим процесс Грама-Шмидта, ортогонализируем его. новая система в-ов явл-ся ортогональной эти в-ры ЛНЕЗ образуют ортогональный базис, если один из этих в-ов не равен 0. Рассмотрим этот вариант: допустим, получили .

Из (1) при m-l из критерия ЛЗ в-ов подсистема - ЛЗ ЛЗ, что противоречит условию наше предположение неверно - ортонормированный базис! .

2.1 Определение ФНП, дифференцируемой в точке, полного дифференциала и диф-лов высших порядков этой функции. Напишите формулы для их вычисления.

Опр.3. ФНП наз-ся дифференцируемой в точке x, если она определена в некоторой окрестности U(x) и сущ-ют числа такие, что полное приращение ф-ции в этой точке можно представить в след. виде:

,

Опр.4. Полным диф-лом ф-ции в точке, в которой эта ф-ция диф-ема, наз-ся главная часть ее полного приращения в этой точке, линейная относительно приращений всех переменных .

Опр.5. Диф-лом ф-ции k-го порядка наз-ся диф-л первого порядка от диф-ла (k-1) - го порядка ф-ции: , диф-л удобно записывать в виде:

Билет 20

1.1 Дайте опр-ние собств знач и собств в-ра ЛО. Опишите алгоритм нахождения собств чисел и собств в-ов. Докажите необх и дост условие того, что действит число явл-ся собств значением ЛО. Докажите теорему об инвариантности характерист мн-на ЛО относит базиса лин про-ва.

Опр.1. Ненулевой в-ор x в линейном пространстве L называют собственным вектором ЛО, если для некоторого действительного числа выполняется соотношение . При этом число называют собственным значением (собств. числом) ЛО.

Теорема: для того чтобы действительное число являлось собств. значением ЛО, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем хар-го ур-ния этого оператора.

Док-во. Необходимость (прямое утверждение): дано: ЛО , т.е.

. В из

Матричная форма ОСЛАУ = т.к. вектор , т.е. эта ОСЛАУ имеет ненулевое решение т.е. - корень этого ур-ния. Достаточность (обратное утверждение): дано: ЛО такой, что в некотором выполняются ур-ние . Матрицу можно рассматривать как матрицу соотв. ОСЛАУ ( и т.к. система имеет ненулевое решение в выполняются условие что соответствует

из ∎

Алгоритм нах-ния собств знач и собств в-ов:

1. Составить матрицу ЛО в : A и решить хар-ское ур-ние

2. Для ∀ составить и решить ОСЛАУ . По теореме о структ. общего решения ОСЛАУ (x≠0) ;

- ЛНЕЗ-ые частные решения, которые соответствуют, тем собственным в-рам (ЛНЕЗ) для которых .

Теорема об инвариантности характерист мн-на ЛО относит базиса лин про-ва.

Пусть в , тогда для имеем ;

Р ассмотрим в ' ( U=det detU*det = ∎. Вывод: множество собственных значений равных

наз-ся его спектром и этот спектр инвариантен относит базиса.

2.1 Дайте определение неявной ФНП и сформулируйте теоремы о ее существовании и диф-сти.

Опр.2. Если задано ур-ние , которое связывает ф-цию “y” и её переменные, то “y” наз-ся неявной ф-цией

Теорема о существовании и непрерывности неявной ФНП: если ФНП непрерывна вместе со своими ЧП в окр. U , в самой точке F =0, а то в некоторой окр-сти V U существует непрерывная ф-ция однозначно определяемая ур-нием F(x,y)=0

Рассмотрим ф-цию у(х), где .

Теорема о дифференцируемости неявной ФНП: если (х,у) непрерывна вместе со своими ЧП в окр. U( , в самой точке , F( =0, тогда в некоторой окр. определяется ур-нием F(x,y)=0, то диф-ема в точке и имеет в ней

Билет 21

1.1 Дайте определение билинейной (или квадратичной) формы и ее матрицы. Запишите ее в координатном и матричном виде. Докажите теорему о связи между матрицами одной и той же формы в различных базисах.

Опр.1. КФ-ой в-ра наз-ся однородный многочлен второй степени, связывающий координаты в-ра в некотором базисе след. образом: координатный вид, - матричный вид, где – симметрическая матрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы.

Теорема: при переходе от к новому ’ матрица КФ А преобразуется так, что , где U – матрица перехода.

Док-во: КФ в , а в базисе ’ с матрицей КФ-ы

⇒ при переходе

.

2.1 Дайте определение сложной ФНП. Сформулируйте теорему о ее диф-сти. Напишите формулы для вычисления производных для следующих ф-ций: a, б, в.

Опр.2 Если задана ФНП где все то наз-ся сложной ф-цией перем.

Теорема о ее диф-сти : если ФНП диф-ема в т. а все диф-емы в точке и , то сложная функция диф-ема в точке .

Напишите формулы для вычисления производных для следующих ф-ций:

а) z=f (

б)

в)

Билет 22

1.1. Дайте определение КФ. Запишите ее в координатном и матричном виде. Дайте определения канонического вида КФ и ее канонического базиса. Докажите теорему о возможности привидения любой КФ к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Опр.1. КФ-ой в-ра наз-ся однородный многочлен второй степени, связывающий координаты в-ра в некотором базисе след. образом: координатный вид, - матричный вид, где – симметрическая матрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы.

Опр.2. Вид КФ в котором содержится только квадраты переменных наз-ся каноническим

Опр.3. Базис в котором КФ принимает канонический вид наз-ся каноническим.

Теорема: любую КФ можно привести к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Док-во: дано f(x), в некотором базисе её матрица с явл-ся симметричной. Из теоремы о приведении симметричной матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием ⇒

1. любую симметр. матрицу можно привести к диаг. виду ортогон. преобр.

2. , где собств. значения матрицы А, т.е. решения

3. ортог. преобр. определяется матрицей В, построенной из ортонормированных собств. в-ов ⇒ матрицей перехода от к канон. Базису ’ U=B – ортогон. и . В ’ ; ∎.

2.1. Дайте определения непрерывности ФНП в точке, на множестве, определения изолированной точки разрыва, линии и поверхности разрыва. Приведите примеры.

Опр.1. ФНП наз-ся непрерывной в точке , если она определена в точке ∃ и он равен .

Опр.2. ФНП наз-ся непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Опр.3. Если в некоторой окрестности точки разрыва нет других точек разрыва ф-ции, то она наз-ся изолированной точкой разрыва.

Опр.4. Если точки разрыва образуют непрерывное множество, то оно наз-ся линией разрыва.

Пример: «линия разрыва»- две плоскости y=x и y=-x

Опр.5. Если точки разрыва образуют поверхность, то она называется поверхностью разрыва.

Билет 23

1.1. Дайте определение самосопряженного ЛО. Дайте определение собств. знач. и собств. в-ра ЛО. Сформулируйте св-ва собств. знач. и собств. в-ов самосопряженного ЛО.

Опр. 1. ЛО, действующий в ЕП-ве, наз-ся самосопряженным, если

Опр.2. Ненулевой в-ор x в линейном пространстве L называют собственным вектором ЛО, если для некоторого действительного числа выполняется соотношение . При этом число называют собственным значением (собств. числом) ЛО.

Св-ва собств. знач. и собств. в-ов самосопряженного ЛО:

1. теорема: каждому собств. в-ру ЛО соответствует единственное собств. значение.

2. теорема: множество собств. в-ов; соответств. , явл-ся линейным подпространством, если к нему прибавить .

3. 1. Число k равное кратности корня характеристического ур-ния наз-ся алгебраической кратностью собственного значения .

2. Кол-во ЛНЕЗ собств. в-ов соответств. наз-ся геометрич. кратностью этого собств. значения.

Теорема: геометр. кратность собств. Значения не превосходит его алгебраической кратности, т.е. n - r ≤ k

1. Теорема: собств. в-ры ЛО соответств. различным собств. значениям.

2.1. Дайте определение диф-емой в точке ФНП. Сформулируйте и докажите теоремы о необходимых условиях диф-сти ФНП.

Опр. 3. ФНП наз-ся дифференцируемой в точке x, если она определена в некоторой окрестности U(x) и сущ-ют числа такие, что полное приращение ф-ции в этой точке можно представить в след. виде:

,

Теорема 1 и 2 (необходимые условия диф-сти ф-ции в точке)

диф-ема в точке , то 1 она в этой точке непрерывна и 2 имеет конечные ЧП такие, что