Voprosy_k_ekzamenu_MA-2017
Описание файла
Документ из архива "Voprosy_k_ekzamenu_MA-2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Voprosy_k_ekzamenu_MA-2017"
Текст из документа "Voprosy_k_ekzamenu_MA-2017"
1 курс 1 семестр
Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»
МОДУЛЬ 1: Элементарные функции и пределы
-
Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).
-
Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).
-
Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).
-
=Теорема о единственности предела функции (с доказательством).
-
Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (с доказательством).
-
=Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством).
-
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).
-
Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).
-
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций и последовательностей).
-
Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).
-
Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (с доказательством).
-
Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций и последовательностей).
-
Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций и последовательностей).
-
Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей) .
-
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством). Выделение главной части.
-
Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).
-
Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и .
-
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем).
МОДУЛЬ 2: Дифференциальное исчисление функций одного переменного
-
Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
-
Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).
-
Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного.
-
Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством).
-
Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством).
-
Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).
-
Логарифмическая производная и производная функции, заданной параметрически.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Формулировки и доказательства теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
-
Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций ( доказательство для случая отношения бесконечно малых). Раскрытие неопределенностей вида 0 ∙ ∞, ∞ − ∞, 00, ∞ 0 , 1∞.
-
Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций.
-
Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка и доказательство соответствующих теорем).
-
Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций: ex, sin x, cos x, , .
-
Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции (формулировки и доказательства).
-
Понятие локального экстремума. Критические точки. Формулировка и доказательство необходимого условия локального экстремума дифференцируемой функции. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее первой производной. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее второй производной.
-
Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции. Формулировка и доказательство достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
-
Определение точек перегиба функции. Формулировки и доказательства необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции.
-
Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.