КГ_4глава (Компьютерная графика), страница 7

Рис. 4.41. Интерполяция нормалей дает более точный результат

Преломление света

Законы преломления света следует учитывать при построении изображений прозрачных объектов.

Модель идеального преломления. Согласно этой модели луч отклоняется на границе двух сред, причем падающий луч, преломленный луч и нормаль лежат в одной плоскости (в этой же плоскости лежит и зеркально отражен­ный луч). Обозначим угол между падающим лучом и нормалью как щ, а угол между нормалью и преломленным лучом как а^. Для этих углов известен за­кон Снеллиуса, согласно которому

где n₁ и n₂ — абсолютные показатели преломления соответствующих сред. На рис. 4.42 изображен пример отклонения луча при преломлении. В данном случае границами раздела сред являются две параллельные плоскости, на­пример, при прохождении луча через толстое стекло. Очевидно, что угол а₁ равен углу а₄, а угол а₂ равен углу а₃. Иными словами, после прохождения сквозь стекло луч параллельно смещается. Это смещение зависит от толщи­ны стекла и соотношения показателей преломления сред. Возможно, это са­мый простой пример преломления. Вы наверняка уже наблюдали и более сложные объекты, например треугольную призму. Для нее границами сред

Рис. 4.42. Преломление луча

являются непараллельные плоскости (рис. 4.43). Прозрачные объекты могут иметь и криволинейные поверхности, например линзы в разнообразных оптических приборах.

Рис. 4.43. Преломление в треугольной призме

Принято считать, что для вакуума абсолютный показатель преломления ра­вен единице. Для воздуха он составляет 1.00029, для воды — 1.33, для стекла разных сортов: 1.52 (легкий крон), 1.65 (тяжелый крон) [13]. Показатель пре­ломления зависит от состояния вещества, например, от температуры. На практике обычно используют отношение показателей преломления двух сред (n₁/n₂), называемое относительным показателем преломления.

Еще одним важным аспектом преломления является зависимость отклонения луча от длины волны. Это наблюдалось еще И. Ньютоном в опытах по раз­ложению белого света треугольной призмой (рис. 4.44).

Чем меньше длина волны, тем больше отклоняется луч при преломлении. Благодаря этому свойству преломления мы и наблюдаем радугу. Фиолетовый (А,=0.4 мкм) луч отклоняется больше всего, а красный (Х=0.7 мкм) — мень­ше всего. Например, для стекла показатель преломления в видимом спектре изменяется от 1.53 до 1.51 [13].

Таким образом, каждый прозрачный материал описывается показателем пре­ломления, зависящим от длины волны. Кроме того, необходимо учитывать, какая часть световой энергии отражается, а какая часть проходит через объ­ект и описывается преломлением света.

Рис. 4.44. Преломление зависит от длины волны

Кроме идеального преломления в компьютерной графике (хотя и значитель­но реже, вследствие сложности реализации) используется диффузное пре­ломление [32]. Согласно этой модели падающий луч преломляется во все стороны. Примером может служить молочное стекло, обледеневшее стекло.

Вычисление вектора преломленного луча

Сформулируем задачу следующим образом. Заданы два единичных вектора: S₁ — это радиус-вектор, направленный на источник, и N₁— радиус-вектор нормали к границе раздела двух сред. Также должны быть известны два ко­эффициента преломления для данных сред — n₁ и n₂ (или же их отношение).

Требуется найти единичный радиус-вектор преломленного луча T₁. Для решения этой за­дачи выполним некоторые геометрические по­строения (рис. 4.45). Нанесем еще несколько радиус-векторов (далее мы их все для кратко­сти будем называть векторами).

Искомый вектор Т₁ равен сумме двух векторов:

Найдем вначале вектор N_t. Он противоположен по направлению вектору нормали, а его длина Рис. 4.45. Преломление

равна |T₁| cos а₂ = cos а₂ (поскольку по усло­вию задачи Т₁ — единичный). Таким образом, N_T = -N₁ cos а₂. Необходимо определить cos а₂

₂. Запишем закон преломления n₁ sin a₁ = n₁ sin а₂ в виде:

где и = n₁ /п₂.

Воспользуемся тождеством cos²+ sin² = 1. Тогда

или

Значение cos a₂ можно выразить через скалярное произведение единичных векторов S₁ и N₁, то есть cos а₁ = S₁ • N₁. Тогда мы можем записать такое вы­ражение для вектора N_T.

Осталось найти выражение для вектора В. Он располагается на одной прямой с вектором А, причем A= S₁ — N_s Учитывая, что вектор Ns равен N₁ cos a₁

то A =S₁ — N₁ cos a₁. Так как cos α₁ =S₁ N₁ то А = S₁ - N₁ (S₁ N₁).

Поскольку длина вектора А равна sin α₁, а длина вектора В равна sin a₂, то

откуда \В\ = п \А\. Учитывая взаимное расположение векторов А и В, получим В=-пА =n(N₁(S₁-N₁)-S₁).

Теперь мы можем записать искомое выражение для единичного радиус-вектора луча преломления Т\:

Если подкоренное выражение отрицательно, то преломленный луч не суще­ствует. Это соответствует так называемому полному внутреннему отраже­нию [13, 30,32].

Это решение задачи в векторном виде. Используя полученное выражение, можно записать координаты вектора Т₁. Сделайте это самостоятельно в каче­стве упражнения.

Трассировка лучей

Методы трассировки лучей на сегодняшний день считаются наиболее мощ­ными и универсальными методами создания реалистичных изображений. Из­вестно много примеров реализации алгоритмов трассировки для качествен­ного отображения самых сложных трехмерных сцен. Можно отметить, что универсальность методов трассировки в значительной степени обусловлена тем, что в их основе лежат простые и ясные понятия, отражающие наш опыт восприятия окружающего мира.

Как мы видим окружающую нас реальность? Во-первых, нужно определить­ся с тем, что мы вообще способны видеть. Это изучается в специальных дис­циплинах, а в некоторой степени, это вопрос философский. Но здесь мы бу­дем полагать, что окружающие нас объекты обладают по отношению к свету такими свойствами:

□ излучают;

П отражают и поглощают;

D пропускают сквозь себя.

Каждое из этих свойств можно описать некоторым набором характеристик. Например, излучение можно охарактеризовать интенсивностью, направлен­ностью, спектром. Излучение может исходить от условно точечного источ­ника (далекая звезда) или протяженного (скажем, от извергающейся из кра­тера вулкана расплавленной лавы). Распространение излучения может осу­ществляться вдоль достаточно узкого луча (сфокусированный луч лазера), конусом (прожектор), равномерно во все стороны (Солнце), либо еще как-нибудь. Свойство отражения (поглощения) можно описать характеристиками диффузного рассеивания и зеркального отражения. Прозрачность можно описать ослаблением интенсивности и преломлением.

Распределение световой энергии по возможным направлениям световых лу­чей можно отобразить с помощью векторных диаграмм, в которых длина векторов соответствует интенсивности (рис. 4.46—4.48).

Рис. 4.46. Излучение: а — равномерно во все стороны, б — направленно

Рис. 4.47. Отражение: а — идеальное зеркало, б — неидеальное зеркало,

в — диффузное, г — сумма диффузного и зеркального, д — обратное, е — сумма диффузного, зеркального и обратного

В предыдущих разделах мы с вами уже ознакомились с наиболее часто упо­минаемыми видами отражения — зеркальным и диффузным. Реже в литера­туре упоминается обратное, антизеркальное отражение, у которого максимум интенсивности отражения соответствует направлению на источник. Обрат­ным зеркальным отражением обладают некоторые виды растительности на поверхности Земли, наблюдаемые с высоты, например, рисовые поля [9].

Два крайних, идеализированных случая преломления изображены на рис. 4.48.

Рис. 4.48. Преломление: а — идеальное, 6 — диффузное

Некоторые реальные объекты преломляют лучи гораздо более сложным об­разом, например, обледеневшее стекло.

Один и тот же объект реальной действительности может восприниматься в виде источника света, а при ином рассмотрении может считаться предметом, только отражающим и пропускающим свет. Например, купол облачного неба в некоторой трехмерной сцене может моделироваться в виде протяженного (распределенного) источника света, а в других моделях это же небо выступа­ет как полупрозрачная среда, освещенная со стороны Солнца.

В общем случае каждый объект описывается некоторым сочетанием пере­численных выше трех свойств. В качестве упражнения попробуйте привести пример объекта, который обладает одновременно тремя указанными свойст­вами— сам излучает свет и, в то же время, отражает, а также пропускает свет от других источников. Вероятно, ваше воображение подскажет иные примеры, нежели, скажем, докрасна раскаленное стекло.

Теперь рассмотрим то, как формируется изображение некоторой сцены, включающей в себя несколько пространственных объектов. Будем полагать, что из точек поверхности (объема) излучающих объектов исходят лучи света, Можно назвать такие лучи первичными— они освещают все остальное. Важным моментом является предположение, что световой луч в свободном пространстве распространяется вдоль прямой линии (хотя в специальных разделах физики изучаются также и причины возможного искривления). Но