КГ_4глава (Компьютерная графика), страница 5

где /— интенсивность излучения источника, K_s— коэффициент пропорциональности.

Диффузное отражение. Этот вид отражения присущ матовым поверхно­стям. Матовой можно считать такую поверхность, размер шероховатостей которой уже настолько велик, что падающий луч рассеивается равномерно во все стороны. Такой тип отражения характерен, например, для гипса, песка, бумаги. Диффузное отражение описывается законом Ламберта, согласно ко­торому интенсивность отраженного света пропорциональна косинусу угла

между направлением на точечный источник света и нормалью к поверхности (рис. 4.30).

где I— интенсивность источника света, K_d— коэффициент, который учиты­вает свойства материала поверхности. Значение К_d находится в диапазоне от 0 до 1 [28]. Интенсивность отраженного света не зависит от расположения наблюдателя.

Рис. 4.30. Матовая поверхность

Матовая поверхность имеет свой цвет. Наблюдаемый цвет матовой поверх­ности определяется комбинацией собственного цвета поверхности и цвета излучения источника света.

При создании реалистичных изображений следует учитывать то, что в при­роде, вероятно, не существует идеально зеркальных или полностью матовых поверхностей. При изображении объектов средствами компьютерной графи­ки обычно моделируют сочетание зеркальности и диффузного рассеивания в пропорции, характерной для конкретного материала. В этом случае модель отражения записывают в виде суммы диффузной и зеркальной компонент:

где константы K_d, К_s определяют отражательные свойства материала. Согласно этой формуле интенсивность отраженного света равна нулю для некоторых углов θ и а. Однако в реальных сценах обычно нет полностью за­темненных объектов, следует учитывать фоновую подсветку, освещение рас­сеянным светом, отраженным от других объектов. В таком случае интенсив­ность может быть эмпирически выражена следующей формулой:

где /_а — интенсивность рассеянного света, К_а — константа.

Можно еще усовершенствовать модель отражения, если учесть то, что энер­гия от точечного источника света уменьшается пропорционально квадрату

расстояния. Использование такого правила вызывает сложности, поэтому на практике часто реализуют модель, выражаемую эмпирической формулой [28|

где R — расстояние от центра проекции до поверхности, к — константа.

Как определить цвет закрашивания точек объектов в соответствии с данной моделью? Наиболее просто выполняется расчет в градациях серого цвета (например, для белого источника света и серых объектов). В данном случав интенсивность отраженного света соответствует яркости. Сложнее обстоит дело с цветными источниками света, освещающими цветные поверхности. Например, для модели RGB составляются три формулы расчета интенсивно­сти отраженного света для различных цветовых компонент. Коэффициента К_а и K_d различны для разных компонент — они выражают собственный цвет поверхности. Поскольку цвет отраженного зеркального луча равен цвету источника, то коэффициент К, будет одинаковым для всех компонент цветовой модели. Цвет источника света выражается значениями интенсивности I для соответствующих цветовых компонент.

Алгебра векторов

Здесь уместно сделать небольшое отступление от темы. Рассмотрим элементы алгебры векторов. Вектором называется отрезок прямой, соеди­няющий некоторые точки пространства А и В. Направление вектора — от начальной точки А к конечной точке В. Радиус-вектор R — это вектор, с начальной точкой в центре координат. Коорди­натами радиус-вектора являются координаты ко­нечной точки (рис. 4.31). Длина радиус-вектора часто называется модулем, обозначается как |R| и Рис. 4.31. Радиус-вектор вычисляется следующим образом:

Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Перечислим основные операции над векторами.

1. Умножение вектора на число X = Va. Результат — вектор X, длина кото­рого в а раз больше вектора V. Если число а положительно, то направле­ние вектора X совпадает с вектором V. При о<0 вектор X имеет противоположное направление вектору V. Если V— это радиус-вектор, то коор­динаты вектора результата будут (а *х_v, а *у_v, a *z_v), то есть каждая коор­дината вектора умножается на число а.

2. Сложение векторов С = А+В. Результат сложения — это вектор, соответ­ствующий одной из диагоналей параллелограмма, сторонами которого яв­ляются векторы А и В (рис. 4.32). Все три век­тора лежат в одной плоскости. Для радиус-векторов А и В координаты вектора результата определяются так:

Рис. 4.32. Сложение векторов

Разность двух векторов С = А - В можно определить через операцию сло­жения С = А + (—В). Вектор разности соответствует другой диагонали па­раллелограмма, изображенного на рис. 4.32. При вычитании радиус-векторов соответствующие координаты вычитаются:

3. Скалярное произведение векторов с = А^чВ. Результатом операции является число (скаляр), которое равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Если А и В — это радиус-векторы, то результат можно вычислить через координаты следующим образом:

4. Векторное произведение векторов С = АхВ. Результатом операции явля­ется вектор, перпендикулярный к плоскости параллелограмма, образован­ного сторонами векторов А и В, а длина вектора равна площади этого па­раллелограмма — подобно тому, как изображено на рис. 4.33.

В случае, когда векторы А и В являются ра­диус-векторами, координаты вектора резуль­тата С вычисляются по формулам:

Обратите внимание на то, что АхВ = -ВхА.

Рис. 4.33. Векторное

Иными словами, порядок сомножителей оп- произведение

ределяет направление вектора результата.

В этом можно убедиться, если в формуле координат поменять местами коор­динаты векторов А и В.

Кроме того, направление вектора результата операции АхВ зависит и от рас­положения координатных осей (система координат, изображенная на рис. 4.33, называется левой [16]). Назовите ось у осью х, а ось х — осью y (получится правая система), а также соответственно поменяйте местами ко­ординаты х и у векторов А и В в формуле векторного произведения. В ре­зультате такой перестановки координаты вектора С поменяют знак, то есть вектор будет иметь противоположное направление.

Вычисление нормалей и углов отражения

Вычисление координат вектора нормали. Рассматривая модели отражения света, вы, наверное, обратили внимание на то, что нормаль к поверхности является важным элементом. Определение вектора нормали к поверхности в заданной точке может быть выполнено различными способами. В значитель­ной степени это определяется типом модели описания поверхности. Для поверхностей, заданных в аналитической форме, известны методы диффе­ренциальной геометрии, которые основываются на вычислении частных про­изводных функций описания [19]. Например, если поверхность задана пара­метрическими функциями

то координаты вектора нормали можно вычислить так [3]:

В случае описания поверхности векторно-полигональной моделью для опре­деления нормалей можно использовать методы векторной алгебры.

Рис. 4.34. Одна грань поверхности Рис. 4.35. Радиус-векторы

Пусть в пространстве задана некоторая многогранная поверхность. Рассмот­рим одну ее плоскую грань в виде треугольника (рис. 4.34). Для вычисления координат вектора нормали воспользуемся векторным произведением любых двух векторов, лежащих в плоскости грани. В качестве таких векторов могут служить и ребра грани, например, ребра 1-2 и 1-3. Однако формулы для век­торного произведения были определены нами только для радиус-векторов. Чтобы перейти к радиус-векторам, введем новую систему координат, центр которой совпадает с вершиной 1, а оси параллельны осям прежней системы. Координаты вершин в новой системе:

Теперь назовем ребро (1-2) вектором А, а ребро (1-3) — вектором В, как по­казано на рис. 4.35. Таким образом, положение нормали к грани в простран­стве будет описываться радиус-вектором N. Его координаты в системе (х¹, у', z¹) выразим формулами для векторного произведения:

Здесь использованы координаты вершин грани до переноса.

Плоская грань может изображаться в различных ракурсах. В каждой конкретной ситуации необходимо выбирать направление нормали, соответст­вующее видимой стороне грани. Если плоская грань может быть видна с об­ратной стороны, то тогда в расчетах отраженного света необходимо выбирать в качестве нормали обратный вектор, то есть (-N).

Если полигональная поверхность имеет не треугольные грани, а, например, плоские четырехугольные, то расчет нормали можно выполнять по любым: трем вершинам грани.

Диффузное отражение. Определим косинус угла между вектором нормали и направлением на источник света.

Первый пример (возможно, самый простой). Источник света располагается на оси z в бесконечности. Если расчеты производятся для видовой системы ко­ординат, то это означает, что источник света располагается на одной оси с камерой.