diskr_edit (Методичка по дискретной математике), страница 18

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества А  В  .

5. Найти мощность множества точек гиперболы y = при x Î ( 3, ¥).

Вариант № 23

1. Анализ историй болезней группы из 20 детей показало, что 10 детей болели ветрянкой, 6 – корью, 5 – свинкой. Ветрянкой и корью болели 3 ребенка, ветрянкой и свинкой – 3, корью и свинкой – 2. Всеми тремя болезнями болел один ребенок. Сколько детей не болели ни одной из перечисленных болезней?

2. Верно или неверно равенство: С)    С?

3. Доказать, что множество точек A= {(x, y): y = ½x+1½, – 1 £ x £ 1} несчетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества (BC) \ A .

5. Пусть A – множество точек отрезка [1, 2], а B – множество точек интервала (0, 3). Какие из следующих отношений справедливы: а) A =B; б) A ~ B; в) A Ì B; г) A Ê B; д) A ËB; е) A Î B.

Вариант № 24

1. В книжный киоск привезли для продажи 100 книг Пушкина, Лермонтова и Тургенева. Книги Пушкина купили 60 человек, книги Лермонтова – 50, книги Тургенева – 30 человек. Книги Пушкина и Лермонтова купили 40 человек, книги Пушкина и Тургенева – 20, книги Лермонтова и Тургенева – 10 человек. Пять человек купили книги всех трех писателей. Сколько человек не купили ни одной из перечисленных книг?

2. Верно или неверно равенство: \ = \ ?

3. Привести примеры множеств А, В и С таких, что равенство А È В È С = С

а) справедливо; б) несправедливо.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества \ .

5. Можно ли построить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством действительных чисел отрезка [0, 1]? Ответ обосновать.

Вариант № 25

1. Группа научных работников состоит из 100 человек. Из них 70 человек владеют английским языком, 50 – немецким, 40 – французским, 30 – английским и немецким, 25 – английским и французским, 15 – французским и немецким. Хотя бы один язык знает каждый научный работник. Сколько человек владеют всеми тремя языками?

2. Упростить: (A \ (AB)) È В.

3. Привести примеры множеств А, В и С так, чтобы A Î B, В Ì С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества \ .

5. Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных чисел счетно? Ответ обосновать.

Вариант № 26

1. На курсы иностранных языков записалось 100 человек. Оказалось, что 70 человек будут изучать английский язык, 60 человек – французский и 30 человек - немецкий. Английский и французский собираются изучать 40 человек, английский и немецкий – 20, французский и немецкий – 10. Сколько студентов будут изучать все три языка?

2. Упростить равенство: (A  С )\ (С  (A ÈB)).

3. Привести пример двух различных бесконечных множеств А и В, таких, что мощность множества А равна мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества С).

5. Эквивалентны ли множества A = {x: x³ – 1 = 0} и B = {x: x² – 3x + 2 = 0}?

Вариант № 27

В команде бегунов десять спортсменов бегают на длинные дистанции, восемнадцать – на средние, двенадцать – на короткие. На длинные и средние дистанции бегают пять спортсменов, на средние и короткие – шесть. На длинные и короткие дистанции не бегает никто. Сколько бегунов в команде?

2. Верно или неверно равенство: ÈС)  È È С?

3. В каком случае A ÈB = А В?

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества È(BC ) .

5. Можно ли утверждать, что множество всех положительных чисел имеет меньшую мощность, чем множество всех действительных чисел? Ответ обосновать.

Вариант № 28

1. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен по данному курсу необходимо защитить курсовую работу, выполнить лабораторную работу и сдать зачет. 15 студентов защитили курсовую работу, 20 выполнили лабораторную работу, 17 сдали зачет. Защитили курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12 человек. Защитили курсовую работу и сдали зачет 13 человек. Выполнили лабораторную работу и сдали зачет 16 человек. Сколько студентов допущено к экзамену?

2. Упростить:  ( È ).

3. Привести пример двух бесконечных множеств А и В, таких, что мощность множества А меньше мощности множества В.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества \ .

5. Эквивалентны ли множество рациональных чисел отрезка [0, 1] и множество рациональных чисел из этого интервала? Ответ обосновать.

Вариант № 29

1. В классе 20 детей. Из них 10 дополнительно занимаются в музыкальной школе, 6 – теннисом, 5 – китайским языком. Музыкальную школу и занятия по теннису посещают три ребенка, музыкой и китайским языком занимаются трое, теннисом и китайским языком двое. Всеми тремя видами дополнительных занятий занимается один ребенок. Сколько детей не занимается ни одним из перечисленных занятий?

2. Пользуясь равносильными преобразованиями, установить, верно или неверно равенство: А \ (В ÈС) = (А \В)  ?

3. Доказать, что множество точек A = {y: y = 2ⁿ, n = 1, 2, …} счетно.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества A  È B .

5. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = x², 1< x <2} и B = {(x, y): y = 2^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 30

1. В цеху имеется 25 станков, которые могут выполнять три вида операций: А, В и С. Из них 10 станков выполняют операцию А, 15 – В, 12 – С. Операции А и В могут быть выполнены на 6 станках, А и С – на 5, В и С – на 3 станках. Сколько станков могут выполнять все три операции?

2. Верно или неверно равенство: \ = \ ?

3. Привести примеры множеств А, В и С , для которых одновременно выполняются равенства А È В È С = А и А  В  С = С.

4. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна для множества С.

5. Можно ли построить взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел отрезка [0, 1] и множеством действительных чисел интервала (0, 1)? Ответ обосновать.

2. Раздел «Отношения. Функции»

Вариант № 1

1. Задано бинарное отношение = {<1, 1>, <1, 3>, <3, 1>, <3, 4>, <4, 3>}.

Найти D(), R(), ^ Проверить, будет ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Привести пример отношения не рефлексивного, не симметричного и транзитивного.

3. Дана функция f(x) = x² + e^x, отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

Вариант № 2

1. Задано бинарное отношение  = {<1, 3>, <3, 1>, <3, 4>, <4, 3>, <4, 4>}.

Найти D(), R(),  ,  ^-1. Проверить, будет ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Привести пример отношения не симметричного, но рефлексивного и транзитивного.

3. Дана функция f(x) = x² + e^-x, отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

Вариант № 3

1. Задано бинарное отношение  = {<2, 2>, <2, 3>, <3, 2>, <3, 4>, <4, 1>}.

Найти D(), R(),  ,  ^-1. Проверить, будет ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Привести пример отношения не транзитивного, но рефлексивного и симметричного.

3. Дана функция f(x) = x + e^x, отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

Вариант № 4

1. Задано бинарное отношение  = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <3, 3>, <4, 4>}.

Найти D(), R(),  ,  ^-1. Проверить, будет ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Будет ли отношением эквивалентности на множестве действительных чисел отношение xy, задаваемое равенством x² + y² = 25?

3. Дана функция f(x) = x³ + e^x, отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

Вариант № 5

1. Задано бинарное отношение  = {<1, 2>, <2, 1>, <3, 4>, <4, 3>, <4, 4>}.

Найти D(), R(),  ,  ^-1. Проверить, будет ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Привести пример отношения не симметричного, не рефлексивного и транзитивного.

3. Дана функция f(x) = x + e^--x, отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?