Шпора по матану 3 семестр
Описание файла
Документ из архива "Шпора по матану 3 семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шпора по матану 3 семестр"
Текст из документа "Шпора по матану 3 семестр"
Числовые ряды.
1) Сходящийся ряд и его сумма.
Рассмотрим последовательность действительных чисел {an}
(an R n).
Опр. 1 Выражение вида a1+a2+...+an+... называется числовым
рядом. В данном ряду a1, a2,.. являются членами ряда. Выражение
an=f(n) – общий член ряда, являющееся функцией натурального
00
аргумента. Сокращенная запись ряда: a1+a2+...+an+...= an .
n=1
Опр. 2 Сумма первых n членов ряда называется n-ой
частичной суммой ряда, т. е.
n
Sn = a1+a2+...+an = ak
k=1
S1=a1, S2=a1+a2, Sn=a1+a2+...+an.
{Sn} – числовая последовательность частичных сумм.
Опр. 3 (главное!) Если существует lim Sn = S = оо, то ряд
оо n->оо
an называется сходящимся, а число S – его суммой (S -
n=1
конечное число).
Если lim Sn = оо или не существует, то ряд называется
n->оо
расходящимся.
Опр. 4 Ряд, полученный из данного отбрасыванием первых m
Членов, называется m-ым остатком ряда и обозначается rm:
oo oo
a1+a2+...+ am+am+1+... , т. е. rm = an. Т. о. an = Sm + rm
n=m+1 n=1
Утверждение 1 Если ряд сходится, то любой его остаток
тоже сходится.
Утверждение 2 Если сходится хотя бы один остаток ряда, то
сходится и сам ряд.
Следствие из Утв. 1 и утв. 2: отбрасывание конечного числа
членов ряда не влияет на характер его сходимости, но в
случае сходимости ряда сумма меняется.
Утверждение 3 Остаток сходящегося ряда стремится к нулю,
оо
т. е. если an – сходится, то lim rm = 0.
-
n->oo
2) Геометрическая прогрессия
Это важный случай числового ряда. an=aoqn-1, qR ( q = 1) –
знаменатель прогрессии.
оо
an = ao+aoq+aoq2+...+aoqn+...
n=1
Если |q| > 1, то lim Sn=lim(( q/(1-q) ) – ( qn+1/ (1-q) ))=oo =>
n->oo n->oo
прогрессия расходится.
Если |q| < 1, то lim Sn=lim( ( q/(1-q) ) – ( qn+1/ (1-q) ) ) =
n->oo n->oo
= (q/(1-q)) = const => прогрессия сходится.
Аналогично для ao = q.
И так, oo
aoqn-1 |q| < 1 сходится и S = (ao/(1-q))
n=1
|q| > 1 расходится
3) Необходимый признак сходимости ряда
oo
Т. Если ряд an сходится, то lim an = 0
n=1 n->oo
Следствие. Если не существует lim an или существует lim an = 0,
n->oo n->oo
то ряд заведомо расходится, т. к. если бы он сходился, то
lim an = 0
n->oo
4) Критерий Коши сходимости ряда.
oo
Теорема 1 (без доказательства). Ряд an сходится <=>
n=1
существует такое N(): n >= N() и p N:
|an+1 + an+2 +...+ an+p| <
Теорема 2 (отрицание критерия Коши).
Если существует : k N и существуют n>=k и p N:
|an+1 + an+2 +...+ an+p| >= .
oo
Итак, ряд (1/n),называющийся гармоническим рядом, расходится.
n=1
5) Обобщенный гармонический ряд.
Опр. Ряд вида (1/n) () называется обобщенным
n=1
гармоническим рядом или рядом Дирихле. Мы показали, что при
=2 он сходится, а при =1 расходится. Позже мы докажем, что
oo > 1 сходится
(1/n)
n=1 0 < <= 1 расходится
oo oo
(1/n) расходится (1/(nn)) сходится
n=1 n=1
=1/2<1 =3/2>1
oo
(1/(3n7)) сходится
n=1
=7/3>1
6) Комплексные числовые ряды.
Zn = an + ibn, an – действительная часть, bn – мнимая часть.
Zn = (an + ibn)
Такой ряд сходится <=> сходятся ряды из его действительной и
мнимой частей: Zn <=> an, bn
Геометрическая прогрессия с комплексными числами: С0, qC
oo oo
Сn = С0qn-1, |q| > 1 => расходится
n=1 n=1 |q| < 1 => сходится
q = q1 + iq2 => |q| = (q21 + q22)
-
Действия над сходящимися рядами
Теорема 1: Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где - const, тоже сходится и его сумма S, т.е.
Теорема 2: Запишем формулировку кратко:
Следствие из Т.1 и Т.2:
Это свойство линейности сходящихся рядов.
Замечание: Что можно сказать о сходимости ряда , где , если известно, что
В первом случае - расходится, а во втором может как сходиться, так и расходиться.
Теорема 3: Если ряд сходится, то можно группировать его слагаемые, не меняя их местами, получится ряд, сходящийся к той же сумме.
-
Ряды с положительными членами
(Положительные ряды, знакоположительные ряды, ряды-синонимы)
Определение: Ряд называется знакоположительным, если и , т.е. все его члены действительные, неотрицательные числа.
Теорема (Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами)
Ряд сходится последовательность , т.е. или
-
Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами
Теорема 1 (Первый признак сравнения)
Если расходится, то - расходится
Теорема 2 (Предельная форма признака сравнения или II-ой признак сравнения)
Пусть и
Тогда
1) и сходится или расходятся одновременно
Замечание: Удобно сравнивать с известными рядами
-
Признаки Даламбера и Коши в предельной форме
Теорема 1 (Признак Даламбера)
Теорема 2 (Радикальный признак Коши)
по асимптотической формуле Стирлинга:
Интегральный признак Коши
1. Теорема (интегральный признак)
Пусть функция f(x) принимает положительные значения и является монотонно убывающей ( ) и пусть .Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
ряд сходится (по критерию сходимости
знакоположительных рядов).
2) Если интеграл расходится, то - неогр. =>
ряд расходится.
3) Аналогично в другую сторону. Если ряд сходится, то
и интеграл сходится.
2. Исследование поведение обобщенного гармонического ряда с помощью интегрального признака.
3. Оценка остатка знакоположительного ряда с помощью интегрального признака.
Из доказательства теоремы пункта 1 следует, что
2) . Это оценка остатка ряда (остаток - это ряд
с первым членом , далее как в 1) ).
6. Понятие об абсолютной сходимости.
Ряд с вещественными или комплексными членами (т.е. не
знакоположительный) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из
абсолютных величин (модудей) его членов: (знакоположительный).
Абсолютная сходимость более сильная, чем простая сходимость, т.е.
1) Если ряд сходится абсолютно, то он сходится
2) Если ряд сходится, то это не означает, что он сходится абсолютно.
К этому понятию мы подробнее обратимся позже, а сейчас только отметим,
что для исследования на абсолютную сходимость применяются признаки сх-ти
положительных рядов.
-
Знакочередующийся ряд Лейбница
Опр. Ряд называется знакочередующимся, если члены ряда попеременно положительны и отрицательны.
Теорема: (Признак Лейбница)
Замечание: Ряд, удовлетворяющий теореме, называется рядом Лейбница или лейбницевский рядом.
Примеры лейбницевских рядов:
-
Оценка остатка ряда Лейбница
Рассмотрим ряд Лейбница и выделим в нем частичную сумму т остаток :
остаток - тоже ряд Лейбница его сумма < по модулю его первого члена
Следствие: Если в ряде Лейбница заменить его сумму на n-ую частичную сумму (т.е. отбросить остаток ), то допущенная ошибка не превзойдет по абсолютной величине модуля первого отброшенного члена.
-
Абсолютная и неабсолютная сходимость вещественного и комплексного ряда.
Рассмотрим ряд ; имеет произвольный знак и может быть даже комплексным числом
Опр.: Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из его модулей
Ряд знакоположительный вещественный ряд к его исследованию применимы все изученные ранее признаки сходимости знакоположительных рядов.
Опр.: Если ряд сходится, а расходится, то ряд называет условно сходящимся.
Теорема: (Сходимость ряда из модулей как достаточное условие сходимости исходного ряда)
Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Если ряд - сходится, то - сходится
-
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Свойство 1: Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд так же абсолютно сходится
Свойство 2: Если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, так же абсолютно сходится, причем к той же сумме.
Свойство 3: Если ряды и абсолютно сходятся к суммам и соответственно, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна
Теорема Римана (о перестановке членов неабсолютно сходящегося ряда)