1.Числовой ряд, его сходимость.

Определение: Формально записанная сумма бесконечного множества чисел (1) наз-ся числовым рядом. Если послед-ть его частичных сумм {S_n}: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂+..., S_n=a₁+...+a_n= ... имеет конечный предел lim S_n=S, то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму S (в этом случае запись (1) не просто формальная запись, а выражает число). Если lim S_n не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится (в этом случае (1) не выражает никакого числа, но если lim S_n=, то ряду (1)приписывают сумму бесконечности).

2.Теорема ( Критерий Коши сход-ти ряда). [ряд (1) сходится] (при достаточно больших номерах любой отрезок ряда делается сколь угодно малым по модулю).

3.Остаток ряда.

Определение: Ряд наз-ся k-ым остатком ряда. Если этот ряд сход-ся, то его сумму обозначают .

Т-ма о сход-ти остатка ряда: k-ый остаток ряда сход-ся или расход-ся одновременно с самим рядом. В случае сход-ти сумма S=S_k+r _k (k-ая частичная сумма плюс сумма k-го остатка ряда)

При достаточно больших номерах (>k) ряд и его k-ый остаток имеют одинаковые отрезки ряда, поэтому критерий Коши для них выполняется или не выполняется одновременно так, что сам ряд и его остаток

сход-ся или расход-ся одновременно.
4.Следствие о роли конечного числа членов ряда.

Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов ряда не влияют на его сход-ть (влияют только на сумму в случае сход-ти)

5.Теорема (необходимые признаки сход-ти).

Если ряд (1) сходится, то:

1) n-ый член ряда стремится к нулю: lim a_n =0.

2)сумма k-ого остатка ряда, при к, стремится к нулю: lim r _k=0

Из теоремы следует, что если lim a_n0, то ряд расходится, но условие lim a_n=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)

6. Линейные операции с рядами.

Определение: Суммой рядов a_n и b_n и произведением a_n на число  наз-ся ряды (a_n+b_n) и a_n.

Теорема о линейных операциях с рядами.

Если ряды a_n и b_n сходятся, то их линейная комбинация (a_n+b_n) cходится к линейной комбинации сумм данных рядов:

Признаки сходимости положительных рядов.

Если у ряда а₁+а₂+…+а_n+… (1) все члены а_n за исключением м.б. конеч. их числа имеют одинак. знак, то ряд наз-ся знакопостоянным : положительным - если а_n  0 и отриц-м – если а_n0. Т.к. отрицательный ряд можно получить из полож. умножением на –1, то достаточно рассмотреть положительные ряды.

Теорема о критерии сходимости положительного ряда.

Положительный ряд (1) сходится  посл-ть его частичных сумм ограничена.

7.Признак сравнения в форме нер-ва.

Если существует n₀, такое что для  n>n₀ выполняется неравенство a_nb_n, то из сходимости ряда b_n следует сходимость ряда a_n, а из расходимости ряда  a_n  расходимость ряда b_n.

8. Признак сравнения в пред форме.

Если сущ. lim (a_n/b_n)=k - конечный или бесконечный, то

1. при к=0; из сх-ти b_nсх-ть a_n

2. при к=+; из расх-ти b_nрасх-ть a_n

3. при 0<к<+; оба ряда сх-ся или расх. одновременно.

9. Признак Даламбера

Если сущ. lim (a_n+1)/a_n=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся при D>1- расх-ся, причём lim a_n=+

10. Радикальный признак Коши.

Если  lim =c, то при с<1 ряд сх-ся, при c>1- расх-ся, причём lim a_n=+

11. Интегральный признак Коши.

Если члены ряда a_n являются значениями некот. неотрицательной убывающей ф-ии f(x), непрерывной на [1,+], a₁=f(1),a₂=f(2),…,a_n=f(n),…, то ряд сходится. Или расх. одновременно с несобственным интегралом (1 to +)f(x)dx.

Сумма a_n выражает площадь ступенчатой фигуры с беск. основанием [0, +], а (1 to +)f(x)dx – пл-дь криволинейной трапеции с бесконечным основанием [1, +] под графиком y=f(x). Обе эти площади конечны или бесконечны одновременно.

12. (1/n^ ) – наз-ся общим гармоническим рядом (Дирихле), сх-ся при >1 и расх. при 1.

13.Теорема об абсолютной сходимости.

Если сходится |a_n|, то сходится и сам a_n.

Определение: Если ряд |a_n| сх-ся, то говорят, что ряд абсолютно сх-ся. Если сам ряд a_n сх-ся, а ряд |a_n| расходится, то говорят, что a_n сх-ся неабсолютно (условно).

Определение: Ряд у которого полож. члены чередуются через один - знакочередующийся. Для знакочередующегося ряда свой достаточный признак сходимости.

14. Признак Лейбница

Если у знакочередующегося ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сходится, сумма ряда имеет знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

15. Свойства сходящихся рядов.

Обычные св-ва конечных сумм – сочетательность, переместительность не перенос. автоматически на суммы рядов, т.к. при вычислении суммы ряда добавляется новая операция переход к пределу.

Теорема о сочетательности сх-ся ряда.

Сходимость и сумма сходящегося ряда сохраняется, если произвольным образом объединить члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а₁+а₂+…+а_n)+(a_n+1+a_n+2+a_n+3)… ( b_k сх-ся к той же сумме, что и a_n). Соч-ть в обратном порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).

16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.

У абсолютно сх-ся ряда сходимость и сумма сохр при любой перестановке членов.

17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Функциональный ряд u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= u_n(x) (1), где u_n(x) – ф-ии с некоторой общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, который может сходиться или расх-ся.

Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.

18.Определение: Если по любому заданному >0 можно указать n_, такое что при всех n> n_ сразу для всех хЕ выполняется неравенство |S_n(x)-S(x)|<: (>0)( n_):(n> n_)(хЕ)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<].

Геометрически: в случае сх-ти при n> n_ все графики у=S_n(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравномерной сх-ти какой бы n_ ни взять при n> n_ не удаётся заключить весь график у=S_n (x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, S_n (x)) остаётся вне полосы.

Теорема об остатке равномерно сх-ся ряда.

Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равномерно сх-ся на Е lim |r_n(x)| =0.

Теорема Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

Функ. ряд (1) сх-ся на множнстве Е равномерно  для >0 существует n_ такое, что при m>n>n_ и xE [ u_k(x)|<]

Из критерия Коши получается след. достаточный признак равномерной сх-ти.

19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует положительный, числовой, сх-ся ряд a_n (4), такой что (n)(хЕ) [|u_k(x)|a_n] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

Определение. Функциональный ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. Ряд, мажорируемый на Е сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

20. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Известно, что конечная сумма непрерывных функций, есть непрерывная функция. Такую сумму можно почленно интегрировать, конечную сумму дифференцировать.

Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x²-x)+…+(xⁿ-x^n-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, x[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.

Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равномерно на Е, то S(x) непрер-на на Е.

21. Теорема об интегрировании ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда (1) непрерывны на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно интегрировать по любому отрезку [x₁,x₂][a,b]. S(x)dx= u_n(x)dx= u_n(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).

22. Теорема о дифференцируемости ряда.

Если все члены u_n(x) функционального ряда (1) сходящиеся на [a,b] (необязательно равном.) непрер. дифференцируемы на [a,b] (u_n(x)c[a,b]), а ряд из производных: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой точке х[a,b]: S(x)=( u_n(x))= u_n(x) (производная суммы ряда равна сумме производных).