Д.У.Пособие3 (дифференциальные уравнения - пособие)

34

Часть 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

В контрольную работу включены два типа задач.

Первый тип - это линейные уравнения с правой частью специального вида. Рассмотрим методы решения таких дифференциальных уравнений.

Однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида:

,

где - действительные числа.

Характеристическим уравнением, соответствующим данному дифференциальному уравнению, называется алгебраическое уравнение вида

.

Общее решение данного дифференциального уравнения находится следующим методом. Пусть является действительным корнем этого уравнения кратности s. Тогда ему соответствуют s линейно независимых решений дифференциального уравнения: , ,…., .

Пусть комплексно сопряженные числа i являются корнями характеристического уравнения кратности s. Тогда им соответствуют 2s линейно независимых решений:

, ,….., ;

,…..,

Можно показать, что таким образом найдется ровно n линейно независимых решений исходного дифференциального уравнения . Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения запишется в виде

где - произвольные постоянные.

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида:

,

где , заданная функция. Если функция является частным решением неоднородного уравнения, то его общее решение записывается в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

При отыскании частного решения неоднородного дифференциального уравнения полезно иметь ввиду следующее: если является частным решением неоднородного уравнения с правой частью , а является частным решением неоднородного уравнения с правой частью , то является частным решением неоднородного уравнения с правой частью .

Если известно общее решение однородного уравнения, то методом вариации произвольных постоянных можно отыскать частное решение неоднородного уравнения. Однако в общем случае применение этого метода вызывает технические трудности. Для правых частей некоторого специального типа частное решение может быть найдено более простым путем. Рассмотрим два таких типа правых частей.

1.Пусть , где - многочлен степени n. Тогда частное решение может быть найдено в виде , где - многочлен степени n, s – кратность корня в характеристическом уравнении. (Если не является корнем характеристического уравнения, то полагаем s=0.)

2.Пусть , где - многочлены степени соответственно. Тогда частное решение может быть найдено в виде

,

где - многочлены степени n, n - наибольшее из и , s – кратность корня +i в характеристическом уравнении.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

.

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: , , n=1. Число =1 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать в виде = , где - многочлен первой степени. Тогда = . Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению.

Найдем :

;

;

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Сокращаем правую и левую части на и приводим подобные в левой части: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: . Следовательно, А=1, В=1. Тогда частное решение запишется в виде = .

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

+ .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: , , . Число не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать в виде = , где - многочлен второй степени. Тогда = . Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем :

;

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Приводим подобные в левой части уравнения:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:

Следовательно А=1, В=0, С=1. Тогда частное решение запишется в виде = .

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

+ .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .

Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму двух функций и , где =2x, =cosx.

Рассмотрим уравнение

.

Функция =2x соответствует правой части первого типа: , , n=1. Число =0 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать в виде = , где - многочлен первой степени. Тогда = . Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению.

Найдем :

;

;

.

Подставляя в исходное уравнение,

получаем: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: . Следовательно А=1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде = .

Рассмотрим уравнение

.

Функция является правой частью второго типа. Имеем , , =0, =1. Число не является корнем характеристического уравнения, значит . Частное решение ищем в виде = , где - многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел и равно нулю. Тогда =

Найдем :

;

;

.

Подставляя в уравнение,

получаем: = .

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: 2А=1, 2В=0. Следовательно . Тогда = . Тогда частное решение исходного уравнения = + = .

Общее решение уравнения равно

.

Схемы решения однородных уравнений второго порядка и уравнений с правой частью специального вида приведены в таблицах 3 и 4.

Второй тип задач – это такие уравнения, решение которых требует применения метода вариации произвольных постоянных.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида.

,

где - известные функции. Пусть и являются линейно независимыми решениями однородного уравнения . Тогда частное решение неоднородного уравнения может быть найдено в виде , где функции и удовлетворяют системе уравнений:

.

Пример. Найти решение задачи Коши.

, , .

Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни: . Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения и . Частное решение ищем в виде

, где функции и удовлетворяют системе уравнений:

.

Решая систему, получаем: = , .

Находим и : , .

Тогда . Общее решение однородного уравнения равно: .
Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

+

Из условия получаем . Найдем производную общего решения:

.

Из условия получаем: ,

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши.

, , .

Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни: . Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения и . Частное решение ищем в виде

, где функции и удовлетворяют системе уравнений:

.

Решая систему, получаем: = , .

Находим и : , .

Для вычисления этого интеграла сделаем замену переменной .

Тогда , . Подставляя в выражение для интеграла, получаем

=

=

Тогда =

=

Общее решение однородного уравнения равно: .
Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

+

Из условия получаем . Найдем производную общего решения: +

+ .

Из условия получаем: ,

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши.

, , .

Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни: . Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения и . Частное решение ищем в виде

, где функции и удовлетворяют системе уравнений:

.