Д.У.Пособие1 (дифференциальные уравнения - пособие)

18

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московская государственная академия

приборостроения и информатики

кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие для студентов заочной формы обучения для самостоятельной подготовки к выполнению домашних контрольных работ.

Москва 2005

Составитель: к.т.н. Антонова И.И.

УДК 517.

Дифференциальные уравнения: методические указания по подготовке к выполнению домашних контрольных работ для студентов заочной формы обучения./МГАПИ. Сост. Антонова И.И. М. 2005.

Излагаются основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры решения различных типов задач, в том числе и решение некоторых типов систем дифференциальных уравнений. Рассмотрен образец выполнения типового расчета.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по заочной форме обучения. Библиогр: 6 .

Рецензент: доц. Егиазаров Ю.И.

Содержание.

Введение. 4

Часть 1. Дифференциальные уравнения первого прядка. 5

Часть 2. Уравнения высших порядков допускающие

понижение порядка. 20

Часть 3. Линейные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами. 26

Часть 4. Решение систем линейных дифференциальных

уравнений. 36

Часть 5. Пример решения варианта конкретного задания. 41

Литература. 55

Введение.

Данные методические указания состоят из пяти разделов. В первом разделе указаны основные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка различных типов. Второй раздел содержит основные понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям более высокого порядка, и способы решения этих уравнений для частных случаев, когда уравнение не содержит неизвестной функции или независимой переменной. В третьем разделе рассматривается метод вариации произвольной постоянной для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами, а также метод подбора формы частного решения при некоторых видах специальной правой части неоднородных уравнений. В четвертом разделе приведены некоторые методы решения систем дифференциальных уравнений. В каждом из перечисленных разделов приводятся образцы решений различных типов задач. В последнем разделе пособия приведен образец решения одного варианта контрольной работы.

Цель данного пособия помочь студенту самостоятельно подготовиться к выполнению контрольных работ. При написании пособия автор не ставила своей целью дать систематическое изложение теоретического материала. Перед каждой рас­смат­риваемой задачей дается тот теоретический материал, который необходим для ее решения.

Часть 1. Дифференциальные уравнения первого прядка.

Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется соотношение вида

.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.

Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего условиям, при .

Известно, что если в некоторой области функция непрерывна вместе со своей частной производной , то в этой области задача Коши имеет решение и при том единственное.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в некоторой области называется совокупность функций (С – произвольная постоянная), удовлетворяющая двум условиям:

1.При любом значении произвольной постоянной С функция является частным решением дифференциального уравнения;

2. Для любых начальных условий задачи Коши при найдется значение произвольной постоянной , такое что .

Если общее решение неявно определятся соотношением вида , то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Далее рассмотрим методы решения тех классов дифференциальных уравнений первого порядка, которые представлены в контрольной работе.

1.Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:

.

Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:

,

где С – произвольная постоянная.

Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

Замечание. Если функция равна нулю в точках , то функции , ,…., являются решениями исходного уравнения. При изложенном методе такие решения могут быть потеряны, поэтому их рекомендуется выписать отдельно.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде (x,y)=C).

.

Для того, что бы убедиться, что данное уравнение действительно является уравнением с разделяющимися переменными, выразим . Имеем

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла: = .

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Уравнение запишем в виде

.

Тогда , . Заметим, что при . Следовательно, функция является решением данного дифференциального уравнения.

В случае разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла

После вычисления интегралов имеем: , .

Потенцируя данное выражение, получаем . Отметим, что решение содержится в полученном выражении общего решения при С=0.

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Поясним, что такая запись подразумевает под дифференциал независимой переменной, под - дифференциал неизвестной функции ( = ).

Перенесем выражения, содержащие в левую часть уравнения, выражения, содержащие - в правую часть. После некоторых простых преобразований, получаем

.

Разделяем переменные

.

Интегрируя правую и левую части, получаем .

Приведем схему нахождения интеграла

.

После вычисления интегралов имеем

.

Потенцируя полученное выражение, имеем .

Ответ: .

2. Однородные уравнения.

Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующий метод его решения. Неизвестную функцию будем искать в виде , где - неизвестная функция. Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Данное уравнение представим в виде

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции . Метод его решения рассмотрен ранее.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Полученное уравнение преобразуем к виду

.

Разделяем переменные

.

Интегрируем правую и левую части

+ .

(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где . Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

.

Потенцируя, имеем

.

Избавляясь от знака модуля, получаем

.

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

.

Заметим, что в уравнении , выражение при , . Следовательно, функции и являются решениями дифференциального уравнения для неизвестной функции , а значит, функции и являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Решение содержится в решении , если положить С=0.

Ответ: , , где С – произвольная постоянная.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.