4. Введение в формальные (аксиоматические) системы

4.1 Формальные модели.

Вставка 4 А

4.2 Принципы построения формальных теорий. Аксиоматические системы, формальный вывод.

Формальные системы - это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательность символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах), сами операции также являются операциями над символами. Термин "формальный" подчёркивает, что объекты и операции над ними рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов. Предполагается, что между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.

Исторически теория формальных систем, так же как и теория алгоритмов, возникла в рамкам оснований математики при исследовании строения аксиоматических теорий и методов доказательства в таких теориях. Всякая точная теория определяется, во-первых, языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории, и, во-вторых, совокупностью теорем - подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.

В математике с античных времён существовал образец систематического построения теории - геометрия Евклида, в которой все исходные предпосылки сформированы явно, в виде аксиом, а теоремы выводятся из этих аксиом с помощью цепочек логических рассуждений, называемых доказательствами. Однако, до середины 19 века математические теории, как правило, не считали нужным явно выделять все исходные принципы, критерии же строгости доказательств и очевидности утверждений в разные времена были различными и явно не формулировались. Время от времени это приводило к необходимости пересмотра основ той или иной теорий. Известно, например, что основания дифференциального и интегрального счисления, разработанных в 18 век Ньютоном и Лейбницем, в 19 века подверглись серьёзному пересмотру. Математический анализ в его современном виде опирается на работы Коши, Больцано и Вейерштрасса по теории пределов.

В конце 19 века такой пересмотр затронул общие принципы доказательств в математических теориях. Это привело к созданию новой отрасли математики - оснований математики, предметом которой и стало построение теорий, чтобы в них не возникало противоречий. Одной из фундаментальных идей, на которые опираются исследования по основанию математики, является идея формализации теорий, т.е. последовательного проведения аксиоматического метода построения теорий.

При этом не допускается пользоваться какими-либо предположениями об объектах теории, кроме тех, которые выражены явно в виде аксиом; аксиомы рассматриваются как формальные последователь­ности символов ( выражения), а методы доказательств— как методы получения одних выражении из других с помо­щью операций над символами. Такой подход гарантирует четкость исходных утверждений и однозначность выводов, однако может создаться впечатление, что осмысленность и истинность в формализованной теории не играют никакой роли. Внешне это так, однако, в действительности и аксио­мы и правила вывода стремятся выбирать таким образом, чтобы построенной с их помощью формальной теории мож­но было придать содержательный смысл.

Более конкретно формальная система (или исчисление) строится следующим образом.

1. Определяется некоторое счетное множество символов, т.е. множество, элементы которого могут быть взаимно однозначно сопоставлены элементам натурального ряда 1,2,...N, которые называется термами. Имеется другое конечное множество символов, элементы которого называются связками или операциями. Наконец, существует конечное множество вспомогательных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями данной системы.

2. Определяется множество формул, или правильно по­строенных выражений, образующее язык теории. Это мно­жество задается конструктивными средствами (как прави­ло, индуктивным определением) и, следовательно, перечис­лимо. Обычно оно и разрешимо. Для правильно построенных формул (ППФ) задаются правила их конструирования, т.е. определяется эффективная процедура, с помощью которой по данному выражению выясняется, является ли формула правильно построенной в данной формальной системе (ФС) или нет. Формула, для которой существует такая процедура, называется разрешимой в данной ФС, в противном случае неразрешимой. Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм выяснения свойства формулы быть теоремой, для этого требуются все новые и новые озарения (изобретательства), не поддающиеся формализации.

3. Выделяется подмножество формул, называемых акси­омами ФС. Так же как и для ППФ для аксиом должна иметься процедура, позволяющая определить, является ли ППФ аксиомой или нет. Подмножество может быть и бесконечным, во всяком случае, оно должно быть разрешимо.

4. Задается конечное множество R₁, R_,2,..,R_k отношений между ППФ, называемых правилами вывода. Должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной конечной последовательности ППФ решить, может ли каждый член этой последовательности быть выведен с помощью конечного числа правил вывода. Правило вывода R(F₁, ..., F_n, G) —это вычислимое отношение на множестве формул. Если формулы F₁, ..., F_n, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F₁, ..., F_n по правилу R. Часто правило R(F₁, ..., F_n, G) записывается в виде (F₁, ..., F_n)/G. Формулы F₁, ..., F_n называются посылками правила R, a G—его следствием или за­ключением. Примеры аксиом и правил вывода будут при­ведены несколько позднее.

Выводом формулы В из формул A₁, ..., A_n называется последовательность формул F₁, ..., F_m, такая, что F_m = B, а любая F_i(i = 1,...,m) есть либо аксиома, либо одна из ис­ходных формул A₁, ..., A_n, либо непосредственно выводима из формул F₁, ..., F_i-1 (или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода. Если существует вывод В из A₁, ..., A_n, то говорят, что В выводима из A₁, ..., A_n. Этот факт обозначается так: A₁,...,An├ В. Формулы A₁, ..., A_n называются гипотезами или посылками вывода. Переход в выводе от F_i-1 к F_i называется i-м шагом вывода.

Доказательством формулы В в теории Т называется вы­вод В из пустого множества формул, т. е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксио­мы. Формула В, для которой существует доказательство, на­зывается формулой, доказуемой в теории Т, или теоремой теории Т; факт доказуемости В обозначается ├ В.

Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не на­рушает выводимости. Поэтому если ├В, то А├В, и если A₁, ..., A_n ├ В, то A₁, ..., A_n, A_n+1 ├ В для любых A и A_n+1. По­рядок гипотез в списке несуществен.

Например, если удалось построить вывод В из A₁, ..., A_n, то элементы последовательности ППФ A₁, ..., A_n называются посылками вывода (или гипотезами). Сокращенно вывод В из A₁, ..., A_n записывается в виде A₁, ..., A_n ├ В, или если Г= A₁,.., A_n то Г├ В. Напомним, что вывод ППФ без использования посылок есть доказательство ППФ В, а сама В – теорема, и это записывается ├ В.

Далее вставка 4В

4.3. Формальные теории. Основные понятия и определения

Исторически понятие формальной теории было разработано в период интенсивных исследований в области оснований математики для формализации собственно логики и теории доказательства. Сейчас этот аппарат широко используется при создании специальных исчислений для решения конкретных прикладных задач.

Выводимость

Пусть F₁, ..., F_n, G - формулы теории Т, то есть F₁, ..., F_n, G являются ППФ. Если существует такое правило вывода R , что (F₁, ..., F_n, G) Î R, то говорят, что формула G непосредственно выводима из формул F₁, ..., F_n по правилу вывода R. Обычно этот факт записывают следующим образом:

, где формулы F₁, ..., F_n называются посылками, а формула G – заключением.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обозначение правила вывода справа от черты, разделяющей посылки и заключение, часто опускают, если оно ясно из контекста.

Если в теории Т существует вывод формулы G из формул F₁, ..., F_n, то это записывают следующим образом:

F₁, ..., F_n├ _Т G, где формулы F₁, ..., F_n называются гипотезами вывода. Если теория Т подразумевается, то ее значение обычно опускают.

Если ├ _Т G, то формула G называется теоремой теории Т (то есть теорема – это формула, выводимая только из аксиом, без гипотез).

Если Г├ _Т G, то Г, D├ _Т G, где Г и D- любые множества формул (то есть при добавлении лишних гипотез выводимость сохраняется).

Правила вывода делятся на прямые и непрямые. Прямые правила вывода – это правила непосредственного перехода от одних формул к другим, т.е. переход от посылки к заключению. Им сопоставляются определенные шаги формального вывода. Непрямые правила вывода суть правила перехода от одних формальным выводам к другим. Таким правилам соответствуют мета утверждения о преобразованиях одних формальных выводов в другие.

Еще одним интересным способом рассуждения, который может быть оформлен в виде непрямого производного правила, является метод доказательства от противного. Суть его сводится к следующему. Пусть нам надо доказать вывод формулы А из посылок Г. Тогда применяют следующий формальный прием: отрицание формулы А добавляют к множеству формул Г и пытаются получить из посылок А, Г противоречие. Если такое противоречие получено, то это означает, что можно построить вывод А из Г

Синтаксис

Синтаксисом называется набор правил конструирования ППФ.

Семантика

Семантикой называется набор правил интерпретации формул.

Интерпретация

Интерпретацией называется приписывание формуле одного из двух значений истинности: 1 (истинно) или 0 (ложно). Композиционность семантики заключается в том, что приписываемое значение истинности некоторой формулы зависит от значений истинности составляющих высказываний и структуры формулы.

Общезначимость и непротиворечивость

Формула называется общезначимой (или тавтологией), если она истинна в любой интерпретации. Формула называется противоречивой, если она ложна в любой интерпретации. Выполнимой называется формула, для которой существует хотя бы одна интерпретация, для которой она истинна.

Формула G называется логическим следствием множества формул G, если G выполняется в любой модели G.

Фундаментальная проблема логики, называемая проблемой дедукции, состоит в том, чтобы определить, является ли формула G логическим следствием множества формул Г. Само слово дедукция (лат. deductio – выведение) определяется как логическое умозаключение от общих суждений к частным или другим общим суждениям. Если логическим следствием из множества формул Г является формула А, имеющая значение истинности Л (ложь или 0), то говорят, что формула А невыполнима. Именно в этом и состоит принцип дедукции: формула А является логическим следствием множества формул Г тогда и только тогда, когда Г А невыполнимо.

Полнота, независимость и разрешимость

Пусть множество M является моделью формальной теории Т. Формальная теория Т называется полной (или адекватной), если каждому истинному высказыванию M соответствует теорема теории Т.

Если для множества (алгебраической системы) M существует формальная полная непротиворечивая теория Т, то M называется аксиоматизируемым (или формализуемым) множеством.

Система аксиом (или аксиоматизация) формально непротиворечивой теории Т называется независимой, если никакая из аксиом не выводима из остальных по правилам вывода теории Т.