шпорка (Шпаргалка)

Билет №1 Система линейный уравнений, структура общего решения однородных и неоднородных систем.

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2nx_n=b₂

………………………….

a_m1x₁+ a_m2x₂+…+ a_mnx_n=b_m

Свойства m линейных уравнений с т неизвестными. a_ij – коэффициенты и b_i – заданные числа. x_i – неизв. Система совместна, если у нее есть хотя бы одно частное решение, в противном случае система называется несовместной. Система называется однородной, если все b_i = 0. (Далее указать матричный вариант записи+ A^~ расширенная матричная система (с чертой и столбцом из b_i)) x -nx1; x Э Rⁿ ; B –mx1; B Э R^m. Матричная запись AX=B. I Общая теория однородных систем АX=0. 1) Однородная система всегда совместна. Док-во: у нее всегда имеется тривиальное (0-е) решение. 2) Общее решение однородной системы образует подпространство в Rⁿ. Док-во: М – общее решение однородной системы АX=0. M C Rⁿ 1) X₁, X₂ Э M  AX₁=0 &(вместо фигурной скобки) AX₂=0  A(X₁+X₂)=AX₁+AX₂=0+0=0  X₁+X₂ Э М. 2) Х Э М, a – число  А(аХ)=аАХ=а0=0  aX ЭМ.

Определение: Фундаментальная система решений (Ф.С.Р.) Ф.С.Р. однородной системы линейных уравнений называется любой базис в ее общем решении. 3) Структура общих решений однородных систем линейных уравнений X₁, X₂, … X_k - Ф.С.Р. некоторой однородной системы линейных уравнений, тогда ее общее решение определено формулой X=C₁X₁+C₂X₂+…+C_kX_k, где С₁, …, С₂ – произвольные числа. II Общая теория неоднородных систем линейных уравнений. АX=B (1) Не меняя левой части однородной системы (1) заменим ее правую часть на 0. Получаем однородную систему. АХ=0 (2). Система (2) называется однородной системой соответствующей данной неоднородной. Пусть общее решение однородной системы (1) есть не пустое множество, т.е. она совместная. Тогда справедливо следующее утверждение. 4) Структура общего решения неоднородных систем линейных уравнений. Пусть X₁ – некоторое фиксированное частное решение системы (1). X₂ – произвольное частное решение системы (2), тогда их сумма X₃=X₁+X₂ снова является частным решением системы (1). Всякое частное решение неоднородной системы (1) имеет такой вид. Док-во: 1) A(X₁+X₂)=AX₁(=B)+AX₂(=0)  X₁+X₂ – частное решение системы (1). 2) X – произвольное частное решение системы (1) X=X₁+?=X₁+(X-X₁); A(X-X₁)=AX(=B)-AX₁(=B)=0  X-X₁- частное решение системы (2). Замечание: Следующая символическая формула поясняет суть последнего утверждения: X_он=X_чн+X_оо Общее решение неоднородной системы складывается из частного решения данной неоднородной системы и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Билет №2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений, свободные и базисные неизвестные, запись общего решения.

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2nx_n=b₂

………………………….

a_m1x₁+ a_m2x₂+…+ a_mnx_n=b_m + А^~

Рассмотрим следующие преобразования над строчками и столбцами данной матрицы. 1) Перестановка 2^х строк; 2) Умножение строк на любой <>0 элемент; 3) Прибавление к одной строке другой с любым множителем; 4) Перестановка 2^х столбцов внутри матрицы А^~( столбец свободных членов переставлять нельзя). Данные преобразованиям отвечают следующие преобразования над уравнениями системы. 1) Перенумерация уравнений; 2) умножение уравнения на любой не нулевой множитель; 3) прибавление одного уравнения к другому с любым (<>0) множителем; 4) Перенумерация неизвестных. Замечание Преобразования 1-4 над уравнениями превращают систему в эквивалентную (2 системы называются эквивалентными, если всякое решение одной является решением другой и наоборот). Теорема: С помощью только лишь элементарных преобразований 1 рода и быть может перестановки столбцов всякую матрицу А можно привести к следующему виду. (Рис 1) Теорема: С помощью указанных преобразований 1-4 расширенная матрица А^~ любой системы линейных уравнений может быть приведена к примитивному виду (рис 2) Соответствующей данной расширенной матрице эквивалентная примитивная система имеет следующий вид (рис 3). Теорема 2: Структура общего решения примитивной системы. Если хотя бы одно из последних m-k равенств не выполняется, система не совместна. В противном случае система совместна и ее общее решение получается следующим образом: x_k+1,…,x_n} n-k x_k+1=c₁; x_k+2=c₂;…; x_m=c_n-k (x₁,x₂…x_n – базисные неизвестные) и выражаются формулами (рис 3)

Билет №3 Система линейных уравнений, критерий совместности.

Теорема Кронекера – Капели Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. (Система совместно  r_A=r_A~. Док-во: Приведем произвольную систему уравнений к примитивному виду, при этом ранг матрицы коэффициентов ранг расширенной матрицы остается неизменным. Рассмотрим расширенную матрицу примитивной системы. k(1 0 * *

0 1

0 0 * )

Очевидно, что r_A=k Система совместна  когда все числа стоящие в «конце» расширенной матрицы равны 0, и только в этом случае r_A~=k

Билет №4 Система линейных уравнений, критерий существования ненулевого решения у однородных систем.

Произвольная однородная система уравнений имеет ненулевое решение  когда ранг матрицы коэффициентов строго меньше количества неизвестных (r_A<n)(при этом ранг матрицы коэффициентов остается неизменным.) Док-во: Приведем систему к примитивному виду. Очевидно система имеет ненулевое решение, когда есть хотя бы одна свободная неизвестная n>k. Следствие №1: Если в однородной системе количество уравнений строго меньше количества неизвестных, то она автоматически имеет ненулевое решение. Количество неизвестных = n; количество уравнений = m (m<n) Но тогда k<=m<n. Следствие №2: Квадратная однородная система (m=n) имеет ненулевое решение  когда det A =0. Док-во: Не равное 0 решение  k=r_A < n  det A=0;

Билет №5 Система линейных уравнений, критерий существования единственного решения.

Произвольная система линейных уравнений имеет единственное решение,  когда r_A=r_A~=n; Док-во: Решение  r_A=r_A~; Решение  когда нет свободных неизвестных  когда n-k=n-r_A=0.

Билет №6 Линейные операторы, примеры: оператор поворота, дифференцирования, левого умножения, тождественный оператор.

Линейное отображение (частный случай общего понятия отображения). Рис 1. x^fy; f:xy; x – область отображения x ^fy; y=f(x) y – образ элемента х при отображении f. X – прообраз элемента при отображении. Определение Линейное отображение: Пусть L₁, L₂ – 2 линейных пространства; : L₁L₂. Оно называется линейным, если 1) (x+y)= (x)+ (y) & 2) ( x)= (x) для x,y L и для чисел . Замечание: Если L₁₌L₂=L, - линейное отображение L в L (в себя), то - линейный оператор, действующий линейном пространстве L. Пример. 1) Оператор поворота. =R ; : V₂ V₂; (Рис 2) . Проверка 2^х условий линейности R (x+y)=R (x)+R (y); Очевидно; R ( x)= R (x); 2) Оператор дифференцирования = d/(dx); L=P_n, где P_n – совокупность всех многочленов степени не выше n; p=p(t) =P_n; d/(dx)(p)=p’(t) P_n. Проверка условий линейности – очевидно 1) производная суммы равна сумме производных; 2) производная выражения, умноженного на число, равна числу, умноженному на производную; 3) Оператор левого умножения =L_A; L=Rⁿ Э x=(x₁,/ x₂,/…, x_n) – столбец. А- nxn (x) =L_A(x)=Ax=y Rⁿ. Проверка условий линейности. 1) L_A(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay= L_A(x)+L_A(y); 2) L_A( x) = A ( x)= A(x)= L_A(x); 4) Тождественный (единичный) оператор. = E. Общее понятие: Пусть x ⁱ x; X Э x ^I x X; i – тождественное отображение. i=i _X; X=L – линейное пространство. Е =i_L – тождественный оператор. Проверка условий линейности: Е(x+y)=x+y=E(x)+E(y); E( x)= x= E(x); Свойства: 1) При любом линейном отображении область ненулевого вектора есть нулевой вектор, а образ линейной комбинации векторов, есть линейная комбинация из образов. 2) L, dim L=n, e₁,…, e_n – базис ₁ и ₂ – два линейных оператора в L. Тогда, если ₁(е_i)= ₂(e_i) i = 1,2…, то ₁(x)= ₂(x) x L. Таким образом действие любого линейного оператора в конечномерном линейном пространстве однозначно определяется его действием на базисный вектор.

Билет №7 Матрица линейного оператора в заданном базисе, матрица оператора левого умножения.

Rⁿ Э x =(x₁/x₂/…/x_n) Ax=y=(y₁/y₂/…/y_n) Rⁿ. Канонический базис в Rⁿ e₁=(1/0/…/0); e₂=(0/1/…/0);…; e_n=(0/0/…/n); Rⁿ Э x =(x₁/x₂/…/x_n)=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n; e₁ L_A(e₁)=Ae₁= =(a₁₁/a₂₁/…/a_n1)=a₁₁e₁+a₂₁e₂+…+a_n1e_n ; A =

e₂ L_A(e₂)=Ae₂= =(a₁₂/a₂₂/…/a_n2)=a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_n2e_n ;

e_n L_A(e_n)=Ae_n= =(a_1n/a_2n/…/a_nn)=a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_nne_n ;

L_A^{^}= =A; L_A^{^}=A;

В каноническом виде совпадает с самой матрицей задающей данное умножение.

Билет №8 Матрица линейного оператора в заданном базисе, матрица оператора поворота.

- линейный оператор в L, dim L = n; e₁,…, e_n – базис в L; (e₁)=a₁₁e₁+a₂₁e₂+…+a_n1e_n;

(e₂)=a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_n2e_n; ……. (e_n)=a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_nne_n = ^{^}. В столбцах этой матрицы стоят коэффициенты разложения образов базисных векторов при действии на них линейным оператором . Матрица линейного оператора в заданном базисе e₁,…, e_n. Матрица оператора левого поворота плоскости. R ; V₂; y=R (x); Рис 1; (e_i)= i=1,2,…n; R (i) Рис 2; R^ =Матр(cos -sin / sin cos );

Билет №9 Матрица линейного оператора в заданном базисе, матрица оператора дифференцирования d/dx.

P_n Э p =p(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀; Канонический базис в P_n:

e ₀=1 (e₀)=0=0e₀+0e₁+…+0e_n;