ЛИНЕЙКА(2сем) (Шпаргалка)

Рангом матрицы называется число элементов максимально линейно независимой подсистемы системы её столбцов.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Ранг ненулевой матрицы равен наивысшему порядку её отличного от нуля минора.

Теорема о базисном миноре. 1) Строки, входящие в базисный минор линейно независимы. 2) Все остальные строки через них выражаются.

Док-во. 1) A=|(a11…a1r…a1n) … (ar1…arr..arn) … (am1…amr…amn)| d=|(a11…a1r) … (ar1…arr)|<>0 r=r(A). Если бы строки базисного минора были бы линейно зависимы и d был бы равен 0. 2) A1…Ar – строки матрицы А. = |(a11…a1r…a1p) … (ar1…arr..arp) … (ak1…akr…akp)|, r<k<m, 1<=p<=n. =0, т.к. если 1<=p<=r, то будет 2 одинаковых столбца, если p>r, то  - минор порядка r+1 матрицы А. =a1pD1 + a2pD2 +…+ arpDr + akpDk=0. akp = -a1pD1/D – a2pD2/D - … - arpDr/D, i=-Di/D, i=1,…,r, akp = 1a1p + … + rarp, Ak=1A1 +…+ rAr, k=r+1,…,m. A1,…,Ar – базис в системе строк A1,…,An. A1,…,Ar – базис линейной оболочки L[A1,…,An].

Следствие. Ранг матрицы А равен рангу системы её строк r(A)=r(A1,…,An).

Теорема. Ранг матрицы не меняется при её транспонировании.

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её столбцов.

Док-во. Достаточно убедиться в том, что ранг матрицы не изменяется при выполнении одного элементарного преобразования. Предположим, что из матрицы А с помощью одного элементарного преобразования её столбцов получается матрица В. Пусть А¹, А², …, Аⁿ – столбцы матрицы А, а В¹, В², …, Вⁿ – столбцы матрицы В. Каждый столбец матрицы В является линейной комбинацией матрицы А. Поэтому (св-во 2 линейных оболочек) l(В¹, В², …, Вⁿ)l(А¹, А², …, Аⁿ), dim l(В¹, В², …, Вⁿ)dim l(А¹, А², …, Аⁿ). Учитывая, что dim l(В¹, В², …, Вⁿ) = r(B), dim l(А¹, А², …, Аⁿ) = r(A), получаем: r(B)<=r(A). В силу обратимости элементарных преобразований, матрица А может быть получена из матрицы И с помощью одного элементарного преобразования. Следовательно, по доказанному выше, r(A)<=r(B). Окончательно получаем, что r(A)=r(B). Следствие. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях её строк.

Теорема. С помощью э. п. над строками любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Элемент строки назыв. Ведущим, если он первый по номеру в этой строке отличной от нуля.

Теорема. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ступенек. Следствие. Число ненулевых строк ступенчатой формы матрицы не зависит от способа нахождения этой формы.

Рангом системы векторов линейного пространства L называется число элементов любой её максимальной линейно независимой подсистемы.

Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда число элементов этой системы равно её рангу.Система векторов конечномерного линейного пространства полна тогда и только тогда, когда её ранг равен размерности этого пространства.Система векторов S:x1.x2.,,,.xk n - мерного линейного пространства L является базисом в L тогда и только тогда, когда k=r(S0=dimL.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: {(a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1) (a21x1+a22x2+…+a1nxn=b2)….. (am1x1+am2x2+…+amnxn=bm), где числа aij, i=1..m, j=1..n называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей. X – вектор столбец из неизвестных xj. В – вектор-столбец из свободных членов bi.

Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов.

Решением системы называется n значений неизвестных x1=c, x2=x2 ,…,xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Системы уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.

Две системы н называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Метод Гаусса. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Док-во. Запишем систему линейных уравнений в векторной форме: x₁a¹+x₂a²+…+x_naⁿ=b, где a¹,…, aⁿ – столбцы основной матрицы A, b – вектор-столбец свободных членов. Расширенную матрицу системы обозначим через B. Рассматриваемая система совместна тогда и только тогда, когда вектор b является линейной комбинацией векторов система {a}. Значит ранги систем равны a1, a2,…,an и a1, a2,…, an, b. По определению ранга матрицы, ранги этих систем равны соответственно r(A) и r(B). Итак, рассматриваемая система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A)=r(B).

Однородная система всегда совместна, она имеет нулевое (тривиальное) решение.

Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r её основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r<n. Док-во. Необходимость. Т.к. ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из миноров размера nxn отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: xi=i/=0, I=0, <>0. Значит, других, кроме тривиальных решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n. Достаточность. Пусть r<n.Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределённой. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения.

Теорема. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Док-во. Если система имеет ненулевые решения, то =0. Ибо при <>0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же =0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой её решений.

Пусть L – линейное пространство над полем P. Отображения, действующие из L в L, будем называть операторами.

Оператор A:L->L называется линейным, если для любых векторов x,yL и любого числа P выполняются условия: 1) A(x+y)=Ax+Ay; 2) A(x)= Ax.

Св-ва. 1. А0=0. Действительно, учитывая, что для любого вектора xL 0*x=0, получаем: A0=A(0*0)=0*A0=0.

2. Для любых 1, 2,…, nP, x1, x2,…, xnL (n>=1) выполняется равенство: A(sum(k*xk)(k=1..n)) = sum(k*Axk) (k=1..n).

Пример. Пусть М – вещественная квадратная матрица порядка n. Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве Rⁿ по правилу: Ax=Mx. Линейность оператора А следует из хорошо известных свойств операции умножения матрицы на вектор: A(x+y)=M(x+y)=M(x)+M(y)= Mx+My=Ax+Ay.

Пусть L – конечномерное линейное пространство над полем P, А – линейный оператор, действующий в этом пространстве, Выберем в пространстве L произвольный базис e1, e2,…, en. Рассмотрим векторы Ae1, Ae2,…, Aen. Каждый из этих векторов можно однозначно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, т.е. имеют место представления:

Ae1=a11e1+a21e2+…+an1en,

Ae2=a12e1+a22e2+…+an2en,

……………………………….

Aen=a1ne1+a2ne2+…+annen, где коэффициенты aij принадлежат полю P. Матрица из этих элементов называется матрицей линейного оператора А в базисе {e};

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от старого базиса к новому. AV->V. <e1,…,en>=B (старый), <e1’,…,en’>=B’ (новый). Ax=AX=A’X’=A’T^-1_B->B’X. A’ = T^-1AT, T=T_B->B’.

Суммой линейных операторов А, В называется оператор А+В, действующий в пространстве L по правилу (А+В)x=Ax+Bx для любого xL.

Произведением линейного оператора А на число P называется оператор А, действующий в пространстве L по правилу (А)x=(Ax) для любого xL.

Оператор –А=(-1)А называется противоположным оператору А.

Произведением оператора А на оператор В называется оператор АВ, действующий в пространстве L, по правилу (AB)x=A(Bx) для любого xL.

Св-ва. A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+0=A; для любого оператора А существует такой линейный оператор В, что А+В=0; (+)A=A+A; (A+B)= A+B; ()A=(A); 1*A=A; (AB)C=A(BC); AI=IA=A; (A+B)C=AB+AC; A(B+C)=AB+AC; (A+B)=(A)B=A(B).

Теорема. Если над оператором производится действие, то и над матрицей производится соответствующее действие. Следствие. Операции над операторами обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами.

Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в L, что ВА=АВ=I.

Оператор В называется обратным к оператору А, если AB=BA=I.

Теорема. Если А линейный оператор, то и А^-1 тоже является линейным оператором. Док-во. Пусть А – обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве L над полем P, А^-1 – оператор, обратный к А. Возьмём произвольные векторы y1, y2  L и числа 1, 2  P. Положим x1=А^-1y1, x2=А^-1y2. тогда Ax1=y1, Ax2=y2. В силу линейности оператора А, A(1x1+2x2)= 1Ax1+2Ax2=1y1+2y2. Отсюда получаем: А^-1(1y1+2y2)= 1x1+2x2=1А^-1y1+2А^-1y2, т.е. оператор А^-1 является линейным.

Ядром линейного оператора А:L->L называется множество всех элементов из L, переводимых оператором А в ноль. Размерность ядра оператора А называется дефектом линейного оператора. Рангом линейного оператора А, действующего в конечномерном линейном пространстве L, называется число r(A)=dim im A.

Теорема. Ядро линейного оператора действующего в линейном пространстве L, является подпространством этого пространства. Док-во. Из равенства A0=0 следует, что 0kerA т.е. ядро оператора А непусто. Выберем произвольные x, y  kerA, ,   P. Нужно убедиться в том, что (x + y)  kerA. Действительно учитывая, что x=0, Ay=0, получаем: A(x + y) = Ax + Ay = 0, т.е. (x + y)  kerA. Образом линейного оператора А:L->L называется множество всех векторов yL, для которых существует такой векторxL, что y=Ax. Иначе говоря образ оператора А – это множество значений отображения А.

Теорема. Образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве L, является подпространством этого пространства. Док-во. Рассмотрим линейный оператор A:L->L. Очевидно что множество imA не пусто. Пусть y1, y2  imA, 1, 2  P. По определению образа оператора существует такие векторы x1, x2  L, что y1=Ax1, y2=Ax2. Тогда A(1x1+2x2) = 1Ax1 + 2Ax2 = 1y1 + 2y2, т.е. (1y1 + 2y2)  imA.

Теорема (критерий существования обратного оператора в терминах его матрицы).  A^-1detA<>0. Заметим detA не зависит от выбора базиса A’=T^-1AT, detA’=detA.