Занятие 9(Фдз 10) (Занятия и Фдз по АиГ)

6

Занятие 9 (Фдз 10).

Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду методом Лагранжа.

9.1. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Получение нормального вида из канонического. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы. Закон инерции. Три инварианта квадратичной формы.

9.1. Квадратичная форма вида

(1)

называется канонической. Если в каноническом виде (1) квадратичной формы коэффициенты равны либо , либо , либо 0, то такую квадратичную форму называют

нормальной. Матрица квадратичной формы в каноническом или нормальном виде является диагональной матрицей.

Линейным преобразованием координат называется преобразование вида

или в матричном виде . (2)

называется матрицей линейного преобразования. Линейное преобразование (2) называется невырожденным, если определитель матрицы отличен от нуля.

В результате применения преобразования (2) квадратичная форма меняется по закону

, где , . (3)

Теорема Лагранжа (о приведении квадратичной формы к каноническому виду). Любую квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием координат (2) привести к каноническому виду.

Основывающийся на этой теореме метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду посредством преобразований (2) заключается в последовательном выделении из квадратичной формы полных квадратов. Действие этого метода продемонстрируем на примерах ниже.

Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы этой формы. Проще всего находится из канонического вида (1) квадратичной формы: , где - число ненулевых коэффициентов в (1).

Число положительных коэффициентов в (1) называется положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов в (1) называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы.

Квадратичные формы подчиняются закону инерции, согласно которому положительный и отрицательный индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы линейными преобразованиями координат к каноническому виду (1) и всегда принимают одни и те же значения. Таким образом, величины и являются инвариантами квадратичной формы.

Ранг квадратичной формы можно найти по индексам инерции: .

Еще одним инвариантом квадратичной формы служит число нулевых коэффициентов в (1). Величина также не зависит от того, каким линейным преобразованием координат квадратичная форма приведена к каноническому виду.

В начале приведем примеры квадратичных форм в каноническом и нормальном виде с указанием их ранга и трех инвариантов.

1) - квадратичная форма канонического вида, - ранг квадратичной формы , - инварианты этой формы.

2) - квадратичная форма канонического вида, - ранг , - инварианты .

3) -

квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .

4) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .

5) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .

6) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .

Теперь на примерах ниже изложим метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

. Найти также нормальный вид и инварианты .

Решение.

содержит слагаемое с . Это позволяет выделить полный квадрат из слагаемых, содержащих координату .

- канонический вид квадратичной формы. (4)

Этот канонический вид получен после замены

.

Из уравнений замены находится невырожденное линейное преобразование координат

, (5)

приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (4).

Проверка.

.

Результаты проверки доказывают справедливость сделанных выводов.

Теперь, пользуясь каноническим видом (4), найдем нормальный вид квадратичной формы.

(4) - нормальный вид квадратичной формы.

Здесь .

Приведем другое решение поставленной задачи.

содержит слагаемое с . Поэтому метод Лагранжа можно начать с выделения полного квадрата из слагаемых, содержащих координату .

- канонический вид квадратичной формы. (6)

Этот канонический вид получен в результате невырожденного линейного преобразования

. (7)

(6) - нормальный вид квадратичной формы.

Здесь .

Канонический вид (4) отличается от канонического вида (6). Проведенные решения показывают, что метод Лагранжа может проходить различными способами и приводить заданную квадратичную форму к различным каноническим видам. Однако все ответы должны подчиняться закону инерции. Из (4) и (6) следует такой общий результат:

- инварианты квадратичной формы.

Пример 2. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

. Найти также нормальный вид и ее индексы инерции.

Решение.

содержит слагаемое с . Поэтому, начнем метод Лагранжа с выделения полного квадрата из слагаемых, содержащих координату .

.

Сумма , стоящая после выделенного квадрата, содержит член с .

Поэтому, в этой сумме можно выделить полный квадрат из слагаемых с координатой .

- канонический вид квадратичной формы. (8)

Здесь

.

Из этих формул, поднимаясь по уравнениям снизу вверх, находится линейное преобразование координат, приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (8)

. (9)

(8) - нормальный вид квадратичной формы.
- индексы инерции квадратичной формы.

Пример 3. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

. Найти также нормальный вид и инварианты .

Решение.

В данной квадратичной форме нет слагаемых с квадратами координат, и присутствуют только смешанные члены. В этом случае необходимо применить специальное линейное преобразование координат, позволяющее получить слагаемые с квадратами координат. Наличие смешанного члена с позволяет использовать такое специальное линейное преобразование

или в матричной форме . (10)

.

Теперь можно выделить полные квадраты аналогично тому, как это делалось в примерах выше.

.

.

- канонический вид квадратичной формы. (11)

Здесь

. (12)

Из (10), (12) находим невырожденное линейное преобразование, приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (11).

, где .

Вычисление матрицы линейного преобразования предоставляем читателю.

(11) - инварианты квадратичной формы.

Пример 4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

. Найти также нормальный вид и инварианты квадратичной формы.

Решение.

Сначала выделим полный квадрат из слагаемых с координатой .

.

.

За выделенным квадратом стоит сумма из смешанных членов и .

Следующий ход в методе Лагранжа – специальное линейное преобразование координат. Сделаем его на основе слагаемого .

или . (13)

.

Теперь можно выделить полный квадрат из суммы , содержащей слагаемые с координатой .

.

.

Теперь выделим полный квадрат из суммы , содержащей слагаемые с координатой .

.

- канонический вид квадратичной формы. (14)

Здесь

или . (15)

(13), (15) - линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

(14) - инварианты .

(14) - нормальный вид квадратичной формы.

__________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Методом Лагранжа привести к каноническому, а затем нормальному виду квадратичные формы, приведенные ниже. Записать невырожденные преобразования координат, приводящие квадратичные формы к каноническому виду.

1.1. , .

1.2. , .