Занятие 13(Фдз 14) (Занятия и Фдз по АиГ)
Описание файла
Файл "Занятие 13(Фдз 14)" внутри архива находится в папке "Занятия и Фдз по АиГ". Документ из архива "Занятия и Фдз по АиГ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "алгебра и геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 13(Фдз 14)"
Текст из документа "Занятие 13(Фдз 14)"
6
Занятие 13 (Фдз 14).
Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.
13.1. Ортогональный оператор и его свойства.
13.2. Сопряженный линейный оператор
13.3. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор. Существование и нахождение ортонормированного собственного базиса симметричного линейного оператора.
13.1. Линейный оператор , заданный в евклидовом пространстве со скалярным произведением , называется ортогональным оператором, если , где .
Ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е.
В произвольном базисе пространства
где - матрица ортогонального оператора, - матрица Грама, - координаты векторов в базисе . В случае ортонормированного базиса , и равенство (1) заменяется равенством
Следовательно, в любом ортонормированном базисе пространства ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу .
Пример 1. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - линейный оператор поворота векторов вокруг начала координат на заданный угол . Доказать, что - ортогональный оператор.
Решение.
С геометрической точки зрения ортогональность заданного оператора очевидна.
Проведем строгое доказательство.
- единичные векторы осей . Эти векторы образуют стандартный ортонормированный базис пространства , с которым связано стандартное скалярное произведение.
Рассмотрим два произвольных вектора .
Т.к. , делаем вывод: - ортогональный оператор.
В дополнение к проведенному доказательству проверим ортогональность матрицы оператора в ортонормированном базисе . Из формул (3), (2) находим
Пример 2. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.
Решение.
Проверим выполнение равенства .
не является ортогональным оператором.
13.2. Пусть даны два линейных оператора и в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется сопряженным оператором оператору , если , где .
Если и матрицы оператора и сопряженного ему оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то
Указанная связь между матрицами и позволяет найти матрицу , если известна матрица , и наоборот, найти матрицу , если известна матрица .
В ортонормированном базисе, где , равенство (4) заменится равенством .
Следует отметить, что сопряженный оператор оператору совпадает с оператором . Поэтому, операторы и называются взаимно сопряженными.
Пример 3. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Потребуем найти матрицу сопряженного оператора в данном базисе. Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .
Решение.
Из матричного равенства (5) выводим: .
Займемся теперь поиском матрицы оператора . Согласно формуле (5) выводим:
13.3. Пусть - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется самосопряженным или симметричным, если , где .
Если - матрица оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то
В ортонормированном базисе (в котором ) это равенство заменится равенством
Следовательно, в ортонормированном базисе симметричный оператор имеет симметрическую матрицу.
Важные свойства симметричного оператора фиксирует следующая теорема.
Все собственные значения симметричного оператора действительны, и собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны.
Из собственных векторов симметричного оператора можно не только образовать собственный базис, но и даже ортонормированный собственный базис. Поэтому, любой симметричный оператор является оператором простого типа (см. занятие 7).
Пример 4. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
Решение.
1. Из характеристического уравнения найдем собственные значения оператора .
2. Теперь найдем собственные векторы.
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
В ортонормированном базисе скалярное произведение задается формулой
, где - координаты векторов в этом базисе.
- ортогональные векторы (что согласуется с выводами теоремы, приведенной выше) - линейно независимая система. Т.к. евклидово пространство двумерно, приходим к выводу: - ортогональный собственный базис.
Чтобы получить ортонормированный собственный базис нужно пронормировать векторы .
Итак, - собственный базис симметричного оператора .
Пример 5. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу
Решение.
Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, - ортогональная система векторов и одновременно является собственным ортогональным базисом оператора . Чтобы получить собственный ортонормированный базис , пронормируем векторы .
Пример 6. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .
- два линейно независимых собственных вектора с собственным значением .
- собственный вектор с собственным значением .
Собственные векторы образуют собственный базис оператора .
Этот базис не является ортогональным:
Линейная оболочка векторов совпадает с множеством всех собственных векторов с собственным значением и образует линейное подпространство в пространстве . Система векторов служит базисом подпространства . Каждый из векторов этой оболочки ортогонален вектору .
Проведем ортогонализацию базиса подпространства .
Векторы образуют ортогональный базис подпространства , а тройка векторов - ортогональный базис (собственный базис оператора ) пространства .
Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис .
Домашнее задание.
1. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору ли оператор .
2. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
3. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .