Краткие ответы на всю теорию за 1 семестр по матану, страница 7

Таким образом, получаем уравнение касательной  y=f ¢(x )×x +y - f ¢(x )×x или 

Если касательная, проходящая через точку М(х , ) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение х=х .

Н аряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной к равенством:

= tg b = tg(90° + a) = - ctg a =  =   = .

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку М(х , у ), то уравнение нормали к кривой y=f(x) в данной точке М имеет вид:

       Ясно, что если касательная параллельна оси Ох, т.е.  f ¢(x )=0 и ее уравнение имеет вид       у=у , то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ох. Значит, ее уравнение имеет вид х=х .

В23.Производные и дифференциалы порядка выше первого функции одной переменной. Нарушение инвариантности форм записи. Линейная замена переменной. Производные функции, заданной параметрически.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Диф.высших порядков не инвариантен: d² y=d(F’(u)du) Но здесь du=g’(x)dx зависит от х и поетому мы получаем d²y=d(F(u))du+F’(u)d(du) или d²y=F’’(u)(du)²+F’(u)d²u где d²u=g’’(x)(dx)²

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,тогда , или риме:

В24.Точка монотонности функции и достаточное условие их существования.Точки экстремума функции.Необходимое условие экстремума функции..

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tg>0, то f`(x)>0

если tg<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить  касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

В25 Теорема Роля и ее геометрический смысл.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например Mf(a): c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

В26.ТеоремаЛангранжа и Коши о диф.на отрезках функциях.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F (b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+ 0=f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a] То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая [f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b) Замечание:Часто точку с можно представить в

нужном виде: с=х₀+∆х 0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1 c-x₀=(x-x₀) c=x₀+(x-x₀)¹ f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀) 0<<1 ∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Ролля для функции g(x)

F(x)=(f(x)-f(a)) (g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a)) –вспомогательная фун-я

Требуем:1.F(x) определена и непрерывна на всем [a;b]т.к. она линейная кобминация непрерывных.2.F(x) дифференцируема на всем промежутке т.к. коомб. 3. F(a)=0 F(b)=0

F(a)=F(b)=0 – все условия т.Ролля => внутри [a;b] есть С, где F’(C)=0 выразим это f’(x)(g(b))-g(a))-(f(b)-b(a))g’c=0

_{Справедлива, тюк. g(b)!=g(a)по Ролю}

_{В27.Правило Лопиталя.}

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)0 в О(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их₀ если

^xx_ ^xx_ ^xx_

хх₀ то сх₀=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^xx_ ^xx_

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если  f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+ (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^xx_ ^xx_ ^xx_

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х₀), g'(x)0 и О(х₀), дифференцируемы в О(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!= nN lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+

^{x + x+ x+ x+ x+ x+}

f(x)=lnx

x+

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x+ x+ x+}

В28.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа.

Пусть на интервале [a, b] функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:

f(a) = f(b) = f '(a) = f ''(a)= ... = f ^(n-1)(a)=0

Тогда внутри интервала [a, b] найдется хотя бы одно значение с, при котором

f ⁽ⁿ⁾(c) = 0

   Доказательство. По теореме Ролля имеем

f '(x₀ ) = 0,

где a < x₀ < b. Тогда f '(x) на интервале [a, x₀] удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f '(a) = 0 и f '(x₀ ) = 0, а потому

f ''(x₁ ) = 0,

где a < x₁ < x₀.
   Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ''(x), f '''(x), ..., f ^(n-1)(x), найдем наконец:

f ⁽ⁿ⁾(с) = 0,

где a < c < x_n-1 < b . Теорема доказана.
   Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
   Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале [a, b].
   Рассмотрим вспомогательную функцию

(x) = f (x) - P (x),

где

   Продифференцируем n раз функцию (x). Тогда будем иметь

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
^(n-1)(x) = f^(n-1)(x) - A_n-1 - A_n(x - a),
⁽ⁿ⁾(x) = f⁽ⁿ⁾(x) - A_n

   Потребуем, чтобы функция (x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь

     (1)
.

   Так как функция (x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b), что

⁽ⁿ⁾(с) = f⁽ⁿ⁾(с) - A_n = 0     (2)

   Далее найдем из n первых уравнений системы (1) коэффициенты A₀ , A₁ , ..., A_n-1: