Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагр. (Много всякого и полезного по матану)
Описание файла
Файл "Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагр." внутри архива находится в папке "Много всякого и полезного по матану". Документ из архива "Много всякого и полезного по матану", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагр."
Текст из документа "Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагр."
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x0. Мы можем формально составить многочлен
к оторый наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x0. Многочлен Qn(x) совпадает с функцией f(х) в точке x0 но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'n(x0)=f'(x0),...,Q(n)n(x0)=f(n)(x0) {2}. Положим f(x)=Qn(x)+rn(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функции f(x); rn(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x0. Функция rn(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.
Н айдем выражение для rn(х) через производную f(n+1)(х). В силу {2} и {3} rn(x0)=r'n(x0)=...=r(n)n(x0)=0. Положим (х)=(х–x0)n+1. Ясно, что (x0)=(x0)=...=(n)(x0)=0. Применяя теорему Коши к функциям rn(х) и (x), будем иметь
Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.