Теорема Коши (Много всякого и полезного по матану)
Описание файла
Файл "Теорема Коши" внутри архива находится в папке "Много всякого и полезного по матану". Документ из архива "Много всякого и полезного по матану", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Теорема Коши"
Текст из документа "Теорема Коши"
Теорема Коши:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а,b), и g'(x)0 в (a,b), то существует точка (a,b) такая, что
(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))=f'()/g'() {1}. Доказательство: Отметим, что g(b)–g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка такая, что g'()=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f'(x)–f(a)–(f(b)–f(a))/(g(b)–g(a))[g(x)–g(a)]. В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а,b], дифференцируема на (а,b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка (а,b), в которой F'(g)=0. Но
F'(x)=f'(x)–(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))g'(x), поэтому, подставляя вместо х точку , получаем утверждение теоремы. Замечание: В формуле {4} Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а<b. Но тогда [а,b] и (а,b) обозначают соответственно множества точек х, для которых bxa,b<x<a. Как следствие из теоремы Коши, при g(x)=x получим теорему Лагранжа.