Производная функции (Много всякого и полезного по матану)
Описание файла
Файл "Производная функции" внутри архива находится в папке "Много всякого и полезного по матану". Документ из архива "Много всякого и полезного по матану", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Производная функции"
Текст из документа "Производная функции"
Производная функци:
Производной от функции f в точке х наз. предел отношения её приращения y в этой точке к соответствующему приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:
f'(x)=lim(x0)y/x=lim(x0)f(x+x)–f(x)/x (1)
Но широко употребляются и другие обозначения: у', df(x)/dx, dy/dx. При фиксированном x величина y/x есть функция x: (x)=y/x (x0). Для существования производной от f в точке х необходимо, чтобы функция f была определена в некоторой окрестности точки x, в том числе в самой точке x. Тогда функция (x) определена для достаточно малых не равных нулю x, т.е. для x, удовлетворяющих неравенствам 0<|x|<, где достаточно мало. Конечно, не для всякой функции f, определенной в окрестности точки x, существует предел (1). Обычно, когда говорят, что функция f имеет в точке х производную f'(х), подразумевают, что она конечна, т.е. предел (1) конечный. Однако может случиться, что существует бесконечный предел (1), равный +, –, или . В этих случаях полезно говорить, что функция f имеет в точке x бесконечную производную (равную +, – или ). Если в формуле (1) предполагается, что x0, принимая только положительные значения (x>0), то соответствующий предел (если он существует) наз. правой производной от f в точке х. Его можно обозначить так: f'пр(x). Аналогично предел (1), когда x0, пробегая отрицательные значения (x<0), наз. левой производной от f в х (f'л(х)). Конечно, для вычисления f'пр (x) (соответственно f'л(х)) обходимо только, чтобы функция f была задана в точке х и справа от нее в некоторой её окрестности (соответственно в х и слева от х). Типичным является случай, когда f задана на отрезке [a,b] и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т.е. в точках интервала (а,b), производную, в точке же а имеет правую производную, а в точке b – левую. В таких случаях говорят, что функция f имеет производную на отрезке [а,b], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет только правую производную, а в точке b – только левую. Нетрудно видеть, что если функция f имеет правую и левую производные в точке х и они равны, то f имеет производную в х: f'пр(x)=f'л(x)=f'(x). Но если правая и левая производные в х существуют и не равны между собой f'пр(x)f'л(x), то производная в х не существует.
(
для графика y/x=|x+x|–|x|/x)
