Продолжение геом. смысла производной (Много всякого и полезного по матану)

Н а рис. 39 приведён пример такого случая. Пусть теперь производная от f в точке х бесконечна: f'(x)=lim_x0y/x=. Отметим четыре важных случая:

Л евая касательная  оси х и направлена вниз. Правая касательная  оси х и направлена вверх (рис. 42). рис. 39, 40

Л евая и правая касательные направлены || оси y, первая вверх, вторая вниз (рис. 43). рис. 41, 42, 43

Примчание: Обычное определение касательной к кривой Г следующее: касательная Т к кривой Г в её точке А есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая через точку А и другую точку ВГ, когда последняя, двигаясь по Г, стремится к А. В этом определении не предполагается, что S и Т –направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной оси у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где А – угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную. Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен . Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (x₀,y₀) под углом  к положительному направлению оси х (–/2 << /2), имеет вид у–у₀=m(х–х₀) (m=tg). Отсюда уравнение касательной к кривой y=f(х) в точке (x₀,у₀) имеет вид y–y₀=y'₀(x–x₀) [3]. Прямая, проходящая через точку АГ перпендикулярно к касательной к Г в этой точке, наз.

нор­малью к Г в точке A. Её уравнение, очевидно, имеет вид y–y₀=–(1/y'₀)(x–x₀) [4].