Возрастание и убывание функции (Много всякого и полезного по матану)

Возрастание и убывание функции:

Теорема №1: Функция, непрерывная на отрезке [а,b], где а<b, и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (а,b), не убывает (строго возрастает) на [а,b]. Действительно, пусть ах₁<х₂b; тогда на отрезке [x₁,x₂] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (х₁;х₂) точка с, для которой f(x₂)–f(x₁)=(x₂–x₁) (где x₁<c<x₂). Если по условию f'0 на (а,b), то f'(с)0 и f(x₂)–f(x₁)0 {1}; если же f'>0 на (а,b), то f'(c)>0 и f(x₂)–f(x₁)0 {2}.

т.к. неравенства {1} и {2} имеют место, каковы бы ни были х₁, x₂, где ах₁<х₂b, то в первом случае f не убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а,b]. Теорема №2: Если функция имеет на интервале (а,b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a,b). В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство f(x)–f(x₁)=(x–x₁)f'(c), где х₁ –фиксированная точка интервала (а,b), х – произвольная его точка (она может находиться справа и слева от х₁) и с – некоторая, зависящая от х₁ и х точка, находящаяся между х₁ и х. Так как по условию f'(х)0 на (а,b), то f'(c)=0 и f(x)=f(x₁)=C для всех х(а,b). Заметим, что в приведенных теоремах ослабление на­лагаемых в них условий может привести к неверности утверждений. Определение: Будем говорить, что функция y=f(х) возрастает (убывает) в точке x₂, если существует число >0 такое, что

y/x>0((y/x)<0) при 0<|x|<. Очевидно, что если функция f(x) возрастает (убывает) на (а,b), то она возрастает (убывает) в каждой точке x(a,b). Теорема №3. Если f'(x₀)>0 (<0), то функция у=f(x) возрастает (убывает) в точке х₀. Доказательство: Так как f'(x₀)>0=lim_x0y/x, то, задав >0, можно найти такое >0, что f'(x₀)–<y/x<f'(x₀)+ при |х|<. Пусть f'(x₀)>0. Взяв<f'(x₀), получаем, что (y/x)>0 при |x|<, т.е. функция f возрастает в точке x₀. Замечания: [1] Если функция f имеет производную и не убывает на (а,b), то f'(х)0 на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке х(a,b) производная от f была отрицательной – это бы противоречило теореме №3. Если f имеет производную и строго возрастает на (а,b) и если у нас других сведений об f нет, то все равно при­дётся заключить, что f'(х)0 на (а,b), потому что строго возрастающая функция в отдельных точках (а,b) может иметь производную, равную нулю. Такой, например, яв­ляется функция х³, строго возрастающая на (–, ) и имеющая при x=0 производную, равную нулю. [2] Если функция возрастает в точке х₀, то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности точки x₀. Примером может служить функция

и F (х) возрастает в точке х=0. Однако эта функция немонотонна, так как производная F'(х)=1/2–2x sin(1/x)+cos(1/x) в любой малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицатель­ные значения. Для х_k 1/k (k=l,2,...) при k чётном она равна 3/2, а при k нечетном она равна – 1/2. Теорема №4. Если функция f(x) чётная (нечетная) и дифференцируема на [–а,а], то f(х) нечетная (чет­ная) функция. Доказательство: Так как f(x)f(–x) x[–а, а], то производные левой и правой части также совпадают: f'(х) –f'(–х), т.е. f'(x)–нечетная функ­ция. (Этот же факт можно доказать, исходя из опреде­ления производной.)