Занятие 7 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

6

Занятие 7. Векторное и смешанное произведение векторов.

7.1. Деление отрезка в данном отношении.

7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.

7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.

7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов ( ).

7.1. Деление отрезка в данном отношении.

Если точки - заданные концевые точки отрезка , разделенного точкой в заданном отношении , то координаты точки

находятся по формулам: . (1)

В случае, когда точка является серединой отрезка , и координаты точки найдутся по формулам: . (2)

Пример 1. Точки лежат на отрезке в последовательности и делят этот отрезок на три равные части. Найти координаты точек , если .

Решение. Пусть .

1). Точка делит отрезок в отношении . Согласно формулам (1), в которых следует отбросить последнюю формулу, находим

.

2). Точка делит отрезок в отношении , поэтому формулы (1) дают

.

Пример 2. Точки являются вершинами треугольника . Найти длину медианы и длину биссектрисы этого треугольника, проведенных из вершины .

Решение. Пусть точка - основание медианы и точка - основание биссектрисы .

1). Точка - середина отрезка . Следовательно, ее координаты можно найти по формулам (2).

.

,

.

2). Точка делит сторону в отношении , в котором находится отношение длин сторон , т.е. .

.

.

Следовательно, . Теперь, зная , по формулам (1) находим точку .

,

,

.

.

7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.

Система векторов называется компланарной, если все векторы этой системы параллельны одной плоскости, в противном случае система векторов называется некомпланарной. Система из одного вектора всегда компланарна. Система из двух векторов всегда компланарна. Система из трех векторов может быть как компланарной, так и некомпланарной. Некомланарные тройки векторов имеют ориентацию: тройка векторов называется правой тройкой, если с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки, и тройка векторов называется левой, если с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит по часовой стрелке.

Если тройка векторов - некомпланарна, то перестановка в ней местами любых двух векторов меняет ориентацию этой тройки. Например, если тройка - левая, то тройки и будут правыми.

Пример 3.

1. Тройка векторов - компланарна, т.к. все векторы лежат в плоскости .

2. Тройка векторов - некомпланарна, т.к. нет ни одной плоскости, которой бы были параллельны все три вектора одновременно.

Пример 4.

1. Тройка векторов - правая тройка, т.к. с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки.

2. Тройка векторов - левая тройка, т.к. с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит по часовой стрелке.

7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.

Определение. Векторным произведением векторов называется вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:

1.

2. - правая тройка;

3. , где - угол между и .

Векторное произведение векторов обозначается или .

Требования 1, 2 однозначно определяют направление вектора по отношению к векторам , а требование 3 определяет длину вектора , оно содержит следующий геометрический смысл векторного произведения: длина вектора равна площади параллелограмма, построенного а векторах .

Свойства векторного произведения таковы: и выполнены

- свойство антикоммутативности;

;

.

Если , то координаты вектора вычисляются по формуле:

. (3)

Отсюда, .

Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения .

Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов , то сначала векторы переносят в пространство :

, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:

,

.

Пример 5. Найти , если .

Решение. . Координаты вектора найдем с помощью формулы (3).

.

Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение. Сначала найдем векторное произведение .

.

Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади параллелограмма на векторах , т.е.

.

Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение .

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Следовательно, .

Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам и такого, чтобы тройка была правой.

Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .

.

Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам и тройка

- правая. Проверим перпендикулярность пар векторов: и , используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)

1) . .

2) . .

Искомый орт получается нормировкой вектора . . .

Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.

Решение.

1). Если , то угол между и равен 0 или . Рассмотрим .

Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим: .

2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а) ; б) ; в) , т.е. или . Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу: .

Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .

Отсюда, как следствие получаем: .

7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.

Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его .

Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет векторное произведение векторов , умноженное затем скалярно на вектор . Результатом смешанного произведения векторов будет число.

Свойства смешанного произведения.

.

.

Перестановки векторов: называются циклическими.

Свойства , означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.

Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение находится по формуле

. (4)

Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .

Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:

1. Если тройка векторов - правая, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ;

2. Если же тройка - левая, то , где - объем параллелепипеда на векторах .

Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :

. (5)

Пример 10. Вычислить , если .

Решение. Согласно координатному выражению (4) находим

.

Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что

1) тройка - левая (т.к. ) и

2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.

Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами .

Решение. Рассмотрим векторы .

Найдем их смешанное произведение.

.

Следовательно, объем параллелепипеда на векторах равен 45. Объем пирамиды составляет одну шестую объема . Таким образом, .

Пример 12. Выяснить, лежат ли точки

на одной плоскости.

Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности : .

- не компланарны

заданные точки не лежат на одной плоскости.

____________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего следующим условиям:

а) ; б) ; в) - левая тройка, если .

2. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

3. Найти объем пирамиды с вершинами .

4. При каком значении параметра точки лежат в одной плоскости?