Занятие 15 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

6

Занятие 15. Базис и размерность линейного пространства.

15.1. Определение базиса как максимальной линейно независимой системы векторов. Определение размерности линейного пространства.

15.2. Примеры конечномерных линейных пространств и их стандартных базисов.

15.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в заданном базисе.

15.4. Определение полноты системы векторов в линейном пространстве. Второе определение базиса (как полной линейно независимой системы векторов).

1. Линейно независимая система линейного пространства называется максимальной линейно независимой системой, если расширенная система линейно зависима. Базисом линейного пространства является любая максимальная линейно независимая система (первое определение базиса). Все базисы линейного пространства содержат одинаковое число векторов. Это число называется размерностью линейного пространства.

Пример 1. Доказать, что система векторов из линейного пространства (множество всех векторов в пространстве) является базисом пространства .

Решение. Система линейно независима (см. пример 2 из занятия 14). Докажем, что эта система является максимальной линейно независимой системой. Возьмем произвольный вектор и рассмотрим расширенную систему . Покажем, что эта система линейно зависима. Составим линейную комбинацию из векторов расширенной системы и приравняем ее вектору .

. (1)

Получили линейную систему из трех уравнений относительно четырех неизвестных . Чтобы увидеть, что эта система допускает нетривиальное решение, достаточно придать неизвестной любое ненулевое значение и найти соответствующие этому значения неизвестных . Для определенности положим и перепишем систему (1) в виде

.

Главный определитель системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение (оно зависит от значений ). Окончательные значения не важны. Важно, что система (1) допускает нетривиальное решение , и, поэтому расширенная система линейно зависима при любом векторе . Согласно определениям выше система - максимальная линейно независимая система в пространстве , т.е. базис пространства . Отсюда в частности следует, размерность пространства равна 3. Это записывается так: .

Отметим, что основную роль в решении поставленной задачи играет определитель , столбцы которого - координаты векторов .

Приведем примеры часто встречающихся линейных пространств и укажем их стандартные (наиболее удобные) базисы и размерности этих пространств.

1) Пространство - множество всех векторов на плоскости .

Стандартным базисом этого пространства является система векторов .

Действительно, - линейно независимая система (проверить самостоятельно). Если к этой системе присоединить любой вектор , то расширенная система будет линейно зависимой. Этот факт вытекает из критерия линейной зависимости, т.к. вектор - линейная комбинация векторов . Следовательно, - максимальная линейно независимая система в , т.е. является базисом пространства .

.

2) Пространство - множество всех векторов в пространстве .

Стандартным базисом этого пространства является система векторов . .

3) Пространство - множество всех многочленов степени меньше или равно . Стандартным базисом этого линейного пространства является набор из функций: .

- максимальная линейно независимая система функций в пространстве . Покажем это. Приравняем линейную комбинацию из этих функций к нулю.

. Это равенство должно выполняться для всех , а это возможно только тогда, когда все коэффициенты при различных степенях равны нулю, т.е. . Следовательно, - линейно независимая система. Рассмотрим теперь расширенную систему , где - произвольная функция из пространства . - линейно зависимая система, поскольку представляется линейной комбинацией функций . Таким образом доказано, что - максимальная линейно независимая система функций в пространстве , т.е. является базисом пространства . .

4) Пространство - множество всех матриц размера .

Стандартным базисом этого пространства является набор матриц

.

Приведенные выше линейные пространства имеют конечную размерность и поэтому называются конечномерными линейными пространствами. Существуют также и бесконечномерные линейные пространства, базисы которых содержат бесконечно много элементов. Например, множество всех непрерывных на отрезке функций - бесконечномерное линейное пространство.

3. Пусть - -мерное линейное пространство, и - базис пространства .

Справедлива следующая теорема. Любой вектор можно разложить по базису , т.е. представить вектор в виде линейной комбинации

. (2)

Причем разложение вектора единственно (не существует двух или более различных разложений вектора по базису).

Набор чисел в разложении (2) называется координатами вектора в базисе .

Пример 2. Разложить вектор по базису и указать координаты вектора в базисе .

Решение. Проверим сначала, что - базис пространства . Сделаем это так же, как и в примере 1. Составим определитель, столбцы которого – координаты векторов .

- линейно независимая система из трех векторов.

Воспользуемся тем, что . Отсюда сразу следует, что любой базис пространства содержит три вектора. Значит, любая система из трех линейно независимых векторов будет максимальной линейно независимой системой, т.е. базисом . Следовательно, - базис .

Согласно теореме о разложении вектора по базису . Отсюда находим:

.

Решим эту полученную систему с помощью правила Крамера. Ее главный определитель полученной системы совпадает с определителем , рассмотренным выше, а вспомогательные определители соответственно равны

.

Следовательно, .

Таким образом, искомое разложение вектора по базису запишется в виде . Отсюда находим, - координаты вектора в базисе .

Пример 3. В линейном пространстве многочленов не выше 1-й степени найти координаты функции в базисе .

Решение. Сначала проверим, что - базис пространства .

. Следовательно, достаточно показать линейную независимость .

- единственное решение

- линейно независимая система, являющаяся базисом пространства .

Теперь разложим по функциям .

. Два многочлена совпадают, если совпадают коэффициенты при соответствующих степенях .

.

Значит, разложение по базису имеет вид .

Отсюда находим - координаты функции в базисе .

4. Пусть - линейное пространство, и - система векторов . Данная система называется полной, если любой вектор можно представить линейной комбинацией векторов этой системы, т.е. . Отметим, что полная система может быть линейно зависимой.

Второе определение базиса линейного пространства : базисом называется полная, линейно независимая система векторов.

Пример 4. Является ли система векторов полной в пространстве ?

Решение. . Следовательно, любой базис пространства состоит из двух линейно независимых векторов. Система содержит базис . Например, векторы составляют базис . Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что определитель , столбцы которого – координаты векторов , отличен от нуля.

Действительно, . В силу теоремы о разложении вектора по базису можно записать: . Следовательно, справедливо следующее разложение по системе векторов : . Это значит, что система является полной в пространстве .

Пример 5. Является ли система функций полной в пространстве ?

Решение. Данная система функций не является полной, т.к. ни при каких числах линейная комбинация не позволяет получить функцию . Другими словами, многочлен неразложим по заданной системе многочленов .

Пример 6. Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка, являющихся решениями матричного уравнения с матрицами будет линейным подпространством в пространстве и найти какой-нибудь базис этого подпространства.

Решение. Найдем все решения матричного уравнения. Пусть .

.

Следовательно, решениями матричного уравнения являются матрицы с произвольными числами .

Покажем теперь, что множество всех решений матричного уравнения – линейное подпространство пространства . Заметим, что , где .

Значит, - линейная оболочка системы матриц из линейного пространства . Т.к. любая линейная оболочка – линейное пространство, и , то приходим к требуемому выводу: - линейное подпространство в .

Найдем теперь базис . В качестве базиса можно взять систему . Эта система полная в ( ). Покажем, что система линейно независима.

.

Поскольку линейная комбинация матриц дает нулевой элемент только при тривиальном наборе чисел , делаем вывод: - линейно независимая система.