Занятие 12 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

8

Занятие 12. Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

, (1)

где называется мнимой единицей и - действительные числа: называется действительной (вещественной) частью; - мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .

По определению,

,

и т.д.

Множество всех действительных чисел является частью множества : . С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству . Например, и , т.к. .

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ,

т.к. .

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

, .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

, , .

Решение.

- соответственно вещественная и мнимая части числа ,

.

.

.

Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.) Ось называется вещественной осью, а ось - мнимой осью комплексной плоскости .

Рис. 1.

Комплексные числа сравниваются между собой только знаками . . Если же хотя бы одно из равенств: нарушено, то . Записи типа не имеют смысла.

По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу . В этом случае пишут . Очевидно, что . Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции сложения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа из числа производится так:

.

2. Умножение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции умножения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности;

- закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел выполнимо только при и производится так:

.

Пример 3. Найти , если .

Решение.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

Пример 4. Вычислить , если .

Решение.

.

z, т.к. .

.

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

.

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа (модуль обозначается ) это - неотрицательное число , т.е. .

Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число на комплексной плоскости . Уравнение определяет множество всех чисел (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности .

Аргумент комплексного числа (аргумент обозначается ) это – угол в радианах между вещественной осью и числом на комплексной плоскости , причем положителен, если он отсчитывается от до против часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается от оси до по часовой стрелке.

Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого , где . Однозначно аргумент числа определяется в пределах одного обхода единичной окружности на плоскости . Обычно требуется найти в пределах интервала , такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается .

и числа можно найти из уравнения , при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости лежит конец вектора - точка :

если (1-я четверть плоскости ), то ;

если (2-я четверть плоскости ), то ;

если (3-я четверть плоскости ), то ;

если (4-я четверть плоскости ), то .

Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты точки - конца вектора на плоскости .

Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

Решение.

1) .

2) .

3)

.

4) .

5)

.

6) .

7)

.

8) .

Аргументы чисел , лежащих осях , разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

, (2)

где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .

Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа имеет вид:

, (3)

где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

. (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

1)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

2)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

3)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

4)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

5)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

6)

- тригонометрическая форма числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма числа .

7)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма числа .

8)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть - показательные формы чисел .

1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности аргументов чисел .

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

.

При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме ; найти , выполнив следующую последовательность действий

, где . (5)

Замечание. Аргумент числа может не принадлежать интервалу . В этом случае следует по полученному значению найти главное значение аргумента

числа , прибавляя (или вычитая) число с таким значением , чтобы

принадлежало интервалу . После этого, нужно заменить в формулах (5) на .

Пример 7. Найти и , если .

Решение.

1) = (см. число из примера 6).

2) , где . . .

Следовательно, можно заменить на и, значит,

, где .

3) , где . .

Заменим на . Следовательно,

.

Извлечение корня -й степени из комплексного числа проводится по формуле Муавра-Лапласа

. (6)

Из формулы (6) видно, что имеет ровно различных значений .

Пример 8. Найти все значения .

Решение. Требуется вычислить в случае .

.

Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую , дает:

.

Следовательно,

,

,

Итак, , , - искомые значения .

Пример 9. Найти в показательной форме все значения .

Решение. Требуется вычислить в случае .

(см. число из примера 5).

По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,

для значений последовательно находим требуемые значения :

.

.

, . Заменим на , получим окончательное выражение .

, . Заменим на , получим окончательное выражение .

___________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел: . Изобразить эти числа на комплексной плоскости. Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.

2. Найти для комплексного числа .

3. Найти все значения .