Шпора Линал по билетам (линал2017)

1.Сформулировать определение линейного пространства и его свойства. Привести примеры линейных пространств. Доказать единственность существования нулевого и противоположного элементов (векторов) линейного пространства.

[[Мн-во V элементов х.у.з…люб природы наз лин пр над полем Р если вып след усл.1.На мно-ве V опр операц сложения элементов т е кажд паре эл-ов х у из V поставлен в соотв эл з из V обозн з=х+у и наз суммой элеменов,2для эл-ов мн-ва V опр операц умножения на действ чисто, те кажд эл0ту х из ве и кажд числа л пост в соотв з из V. з=лх,3 указ операции подчин акс лин пр-ва.Аксиомы cложения:1.х+у=у+х переместительность 2. (х+у)+з=у+(х+з) ассоциативность. 3 Сущ эл в мн-ве такой что х+0=х .4 для люб эл-та х из V сущ такой х’ что х+х’=0. Акс умн: 1.х=х. 2.л(мх)=(лм)х . Акс связ опер умн и слож; 1.(л+м)х=лх+мх.]] Мн-во V3(V2) всех свобод векторов в пр-ве на пло-ти с лин операц наp вект –лин пр-во т к верны все акс лин пр-ва. 2 Можн говорить о лин про-ве Рn многочленов степен не выше н с вещественными коэф.3 Мн-ва матриц m х n эл-ми кот яв действ числа с лин операц над матр уд всем акс лин пр-ва.4 Совокуп упоряд наборов(Е1…Еn) из n действ чисел. Операц слож и умн на действ ввод так . а) сложение (Е1…Еn)+(n1+n2)=(E1+n1,…,Еn+nn).[[1.нул элемент 0 опр однозначно: <Пуст 0 и O нул э-ты про-ва В .Расм сумму 0+O вследствие того что О нул эл из акс 3 лин пр-ва получ что 0+О=0 а поск 0 так же 0+О=О+0=О.те0=О.2Для люб элемента х противвопол ему эдемент (–х) опред ожнозначно: Пусть для некоторого х сущ противополож э-т х’ и х’’. Покаж что они равны . х’+х” +х. Пользуясь акс 1-3 лин пр-ва и тем что х' противопож эл-ми получ х’+х” +х= х” +(х’+х)=х”+0=х”. Аналогичн убежд в том что х’+х” +х =(х”+х)+х=0+х’=х’>.3. в пр-ном лин пр-ве нул эл 0 равен произведению произвольного эл-та х и числа 0. Для кажд эл-та х противоположный ему эл-т равен пр-нию х и действ числа (-1).444 Для люб вещ-ва числа алфа и 0 вып равенству алфа0=0.555 Из рав-ва –альфа0 получ 0=альфа0.

2. Сформулировать определение базиса линейного пространства, размерности линейного пространства, координат элемента (вектора) в заданном базисе. Доказать теорему о единственности разложения элемента (вектора) линейного пространства по данному базису. Опр.Совокупность линейно независимых векторов, порожда-ющих линейное пространство V,называют базисом этого пространства. Опр.Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства. Пусть элементы в1,в2..вн базис лин пр-ва V тогда согласно определния базиса любой э-т из V может быть записан в виде х=х1в1+х2в2..хнвн. Коэф при в наз-ся коор-ми э-та х в басизе. Теорема: Любой э-т в лин-ом пр-ве имеет ед-ное разл по данном базису. Пусть в линейном пространстве V задан произвольный базис b,...,bn, и предположим, что элемент х из V имеет в этом базисе два разложения:х=СумXiBi b СумX’iBi. Учитывая, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические комбинации вычтем записанные равенства почленно.Получим сум(Xi-X’i)Bi. Если хотя бы одно из выражений скобках окажется не равным в нулю, то система базисных элементов будет линейно зависимой, что противоречит определению базиса. Таким образом,Xi=X’i и два разложения элемента х в базисе b,...,bn совпадают.

3. Сформулировать определение линейно зависимой и линейно независимой систем элементов (векторов) линейного пространства. Сформулировать: критерий линейной зависимости; свойства линейно зависимых и линейно независимых систем элементов (векторов).

Систему элементов х1…xn линейного пространства называют линейно зависимой, если найдутся числа al,..., an, не все равные нулю и такие, что а1х1+…+анхн=0.Если равенство выполняется только при а1=..=ан=0 то систему элементов называют линейно независимой. Критерий: для того что бы сист э-от х1…xn бфла лин зав необх и дост что бы один из эл-ов сист явл лин комб остальных. Св-ва 1.Если среди эл-ов х1…xn из V присут нулевой эл-т 0 то это сист эл-ов лин зав.2.Сист э-ов содерж лин зав подсистему лин-но зависема.3.Если сист эл-ов лин зав то и любая ее подсис тоже лин незав.4Если сист е1…еn лин про-ва В лин незав и э-ты у из В не явл их лин кобм то расш сист е1…еn,у лин незав.

4. Сформулировать определение матрицы перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве; изложить алгоритм получения такой матрицы. Доказать свойства матрицы перехода. Доказать, что координаты элемента (вектора) в разных базисах связаны матрицей перехода.

Матрицу сост из столбцов коор-нат векторов (е вектор) (е1,..,ен) в базисе (е1,..,ен) наз-ся матр перехода от базиса ф к базису г. Алгоритм:Пусть в н-мерном ЛП V зад 2баз:старый ф=(ф1,…фн) ему сотв матр Ф,столбц котор явл коорд столбцы эл-ов баз ф=(ф1,…фн) и новый г=(г1,…,гн)(с соотв матр Г.Люб эл можн разложить по баз ф.В частностикаждыйэл-тнового баз можн линейно выразить через эл-ты стар баз((g1..n=p11f1+..+pn1fn и так n строк)).Данное соотн удобно записать в виде (g1,g2…gn)=(f1,..fn)*(матр P) или в матр форме G=FP. Св-ва матрицы Опр матр Р не = 0, т.е. мат-перехода перехода невырожд и поэтому имеет обратную. Действительно, если бы det P=0, то из этого равенства след бы, что один из столбцов матр Р явл лин комб остальн ст-цов. Но тогда один из элементов gi есть лин комб др эл-ов этого базиса, что невозможно. Значит, матрица Р невырожденная и имеет обр мат Р 2°. Если det Pне=0, то столбцы матрицы перехода линейно незав и, значит, элементы gi,..., gn, получающиеся из базисных элементов fi,.. fn с помощью матр Р, лин незав, т.е. образуют некот базис. Значит, матр перехода может служить любая квадр мат порядка н с отличным от нуля det. 3. Если Р матр перехода от стар базиса новому баз лин пр-ва, то Р-1 матрица перехода от нов баз к стар базису.Т.к матр перех Р невырожд, из равенства G=FP следует, что GP-1=F. Равенство означает, что столб. Матрицы Р-1 являются столб координат элементов базиca ф относи базиса g, т.е., согласно определению матрпереходв P-1-это матрица перехода от базиса g к f. 4. Пусть в лин про-ве зад базисы f,g,d и пусть P мат перехода от баз f к баз g, а L-матр перех от базиса g к базису d.Тогда произвед этих мат PL есть мат перехода от базиса f к баз d. Согл опред матрицы перехода, имеем след равенства: G=FР, D=GL где D матрица координат базиса d. Тогда D=GL=(FP)L=F(PL),т.е.PLматр перех от баз f к баз g.5Коор эл-та в разн баз связ матр перех.

Xc=PXн,Xн=P-1Xс. Док-во св-ва нужное нам док-во. Пусть зад некот произвольн эл-т а∈V имеющ коор (столбец) (x1..xн)=X в стар баз f и коорд(x’1..x’н)=X’ в нов баз g. Тогда а=x1f1+..xнfн= x’1g1+..x’нgн. подст в это мн-во (g1=pf…+pnfn и так n-е кол-во строк) сгруппировав слагаемые с одинак сомножителями fi получ (x1-x’1p11-x’2p12-..x’np1n)f1+(x2-x’p21-x’2p22-...-x’np2n)f2+..+(xn-x’1pn1-x2’pn1-..-x’npnn)fn=0.т.к f1,f2..fn лин незав , то все коэф перед fi =0 т.е (система из n строк х1..n= x1-x’1p11-x’2p12-..x’np1n.) в матрич форме (х1..n)=(p11+..+p1n)(x’1..n) или X=PX’. В новом базисе из старого X’=P-1Х.

5. Сформулировать определение и свойства линейного подпространства. Сформулировать: определения суммы и пересечения линейных подпространств; их свойства.

Непустое мн-во W лин про-ва V наз лин подпр-ом пр-ва V, есл для люб эл-ов х у из и люб числа а вып усл 1.х+у∈W. ах∈W. Св-ва:Если х1…хн эл-ты лин подпр-ва W, то люб их лин комб ах1+…+ахн также ∈W.2Лин подпр-ва W само явл лин пр-вом.3Раз-сть люб подпр-ва лин про-ва не превосход разм самого пр-ва. Опр. Суммой W1 и W2 лин подп-ва называют совокупность всевозможных эл-ов х пространства V, которые могут быть представлены в виде х=х1+х2.х1.х2∈W.Пересеч линейных подпр-тв W1 и W2 называют совокупность элементов пр-тва V, одновременно ∈ и лин под-тву W1 и лин под-тву W2. Св-ва: 1.суммой W1+W2 лин под-ва ялв лин подпр-ва пр-ва V.2.Пересеч лин под-вом W1иW2 лин подпр-ва явл лин подпр-ва пр-ва V.3.Разм-сть суммы двух подп-ств W1 и W2 пр-ва V равна сумме их размерности – рзм их пересеч те имеет место равенство dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1⋂W2).

6. Сформулировать определение линейной оболочки системы элементов (векторов) линейного пространства и её свойства. Сформулировать определение ранга системы элементов (векторов) линейного пространства и теорему о ранге системы элементов (векторов). Лин об L(X) подмн-ва Х лин пр-ва V наз. Совокуп всевозм-х лин комб ах1+…+анхн эл-ов х1,..,хн∈Х.Св-ва 1.Лин об L(X) содерж само мн-во Х.2. Лин об L(X)-лин. Подпр-во про-ва V. 3.Лин об L(X) наименьш лин под-во про-ва содерж мн-во Х.

7. Сформулировать определение евклидова пространства. Доказать неравенство КошиБуняковского. Лин пр-во E наз евклидн пр-вом если двум люб эл-ам х у из Е став в соотв действит число (х,у) наз скал произведением, таое что для любм эл-ов х у з и произвол действит число а вып аксиомы скал произ-ния :1.(х,у)=(х,y)-коммут.2.(х+у,з)=(х,у)+(у,з)-дистриб.3.(ах,у)=а(х,у)-ассоц.4.(х,х)>=0 причем (х,х)=0 лиш в том случ если х=0.К-Бун.Для дюбых двух эл-ов х у из евклид пр-ва E справ-во нер-во наз нер-вом К-Б. (х,у)^2<=(x,x)(y,y).

<Если (x,x)=0, то x=0, согласно сво-ву (0,y)=0, нер-во вып-ся. Обратимся к случ (x,x)<>0. Тогда для люб действит л в силу аксиомы:(x,x)>=0. вып неравенство (x-ly)(x-ly)>=0 и согласно окс скал пр-ния ((х,у+з)=(х,у)+(х,з))и(лх,у)=л(х,у) получаем (x-лy,x-лy)=(x,x)-2l(x,y)+l^2(y,y)>=0. Значения этого выраж не отриц при люб лямбда в частности при l=(x,y)/(y,y) *. Следовательно(х,х)-2*(х,у)+(*)^2(у,у)=(х,х)-(х,у)^2/(у,у)>=0 откуда и вытекает утв теоремы.

8. Сформулировать определение ортогональной и ортонормированной систем элементов (векторов) евклидова пространства. Доказать линейную независимость ортонормированной системы элементов (векторов).

Сист эл-ов а1..ан наз ортогон если (ai,aj)=0 при i,j<>0 и ортонорм если (ai,aj)={1(при i=j)=0(i,j<>0).}.Док-во. в=бета.Ортонорм система эл-ов лин Нез. Пусть зад ортонорм сист эл al, a2…an. Сост лин комб этих эл и приравняем ее к нулевому элементу 0: B1а1+В2а2 +...+Вnan =0. Обе части рав-а умнож скал-о на эл ai, i=1, n. Пол, что в(ai, a)=0. По условию (ai, ai)=1, следовательно вi=0 при i=l, n. По определению лин нез это означает линейную нез системы элементов al, a2,..., an.

10. Сформулировать определения линейного оператора и его матрицы в линейном пространстве. Доказать теорему о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Отобр A:V-W из лин пр-ва V в лин пр-во W наз лин оператором, если выполн след усл. 1) A(x1+х2)=Axl+Ax2 для любых элементов x1,x2изV; 2)A(ах)=aАх люб эл хизЕ и люб числ a изR. МАТР А сост из коор столб-ов эл Аеi(i=1.n) в баз {е}=(е1,..ен) наз матр лин опера А в баз {е}.Теор.Матр А и А’ лин опера А:V—V отн базисов е и е’ лин пр-ва V связ след соотн A=P-1AP. P матр. перехода от баз е и е’…. Пусть у=Ах.Коор столб эл-ов х и у В стар баз е обознач через Х и Y, а в нов бази e’- через X' и Y'. В баз e действие лин опера А в матричной форме имеет вид Y=АХ. Взаимосвязь меж коор столбц в разн баз выражается через мат перех Р и рав-вами Х=РX’, Y=PY’ Тогда Y’=P-lY=P-l(AX)=P-1(APX')=(P-1AP)Х’.Получ равенство Y=(P-1AP)X' выражает в матричной форме действие лин опера А в базисе e, поэтому P-1=AP=A'.

11. Доказать теорему об инвариантности определителя подобных матриц.

Если квадр матр В и С порядк n подобны,то их определит равны. Док-во Вычислим опред матр C=M-1BM, где B и C подобные матр. Имеем detC=det(M-1BM)=detM-1 detB detM=det B.

9. Изложить метод построения в евклидовом пространстве ортонормированного базиса (процесс ортогонализации Грама-Шмидта). Пусть в пр-ве Еn задана сист n лин нез эл an, a2,...,an, образ-их некотор баз. Построим в En opтoнорм-ую сист из n элементов с помощ лин комбинир-ия этих эл и операц вычисления нормы. Положим b1=al. Найдем второй элемент b2, исходя из того, что он должен быть ортог 1му эл b. Положим b2=a2-α1b1 и подберем α так чтоб (b1,b2) и подберем постоянную а1 так что бы (b2,b1)=0 из равенства (b2,b1)=(a2-a1b1)=(a2,b2)-a1(b1,b1)=0 получим а1=(а2,b1)/ (b1,b1).Таким образом элемент b2= a2-((а2,b1)/ (b1,b1))*b1 ортогонален b1. На основе эл-ов b1,b2 и зад эл-та а3 построим эл-т (00) b3=a3-б1b1-б2b2. Который должен быть ортогонален b1 та ки эл-ту b2. Б1 и б2 должны уд усл (b2,b1)=0 и (b3,b2)=0. Подст в эти равенства b3 из соот (00) ,с учетом ортогональности b1 и b2 получ (b3,b2)=(a3,b1)-б(b1,b1)=0; (b2,b2)= (a2,b2)-б(b2,b2) откуда б1=(a3,b1)/(b1,b1); б2=(a3,b2)/(b2,b2) таким образом элемент b3=a3-б1*b1-б2*b2.Откуда

Bk=ak-((ak,b1)/(b1,b1))b1-((ak,b2)/(b2,b2))b2-((ak,bk-1)/(bk-1,bk-1))bk-1. Ортогонален b1,b2…bk-1,(k=3,n).

л bk есть лин комб эл b1,b2,...,bk-1, Соотв,эл bk можн запис след образ: bk= α1a1+α 2a2+...+αk-1ak-1+ak.(*)Отсюда видно,что bк<>0, т к в противн случ правая часть равенства(*)была бы нул эле, что противореч усл лин неза эл al,a2,...,ak (коэффициент при ak равен единице).Доказано bk<>0 Полуx система эл b1,b2,...,bn ортог базис.Разделив кажд из получ эл на его длину, построим ортoнор сист (ортонормированный базис)e1=b1/||b1||,…,en=bn/||bn||.Таким обр, полностью обоснован процесс ортогон-ции.

14. Сформулировать определение самосопряженного оператора в евклидовом пространстве и его свойства. Сформулировать теорему о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора. Доказать свойство о собственных элементах (векторах) самосопряженного линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Доказать теорему о симметричности матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе. Опр.Лин опер А евклид пр-ва Е наз самосопр если А=А*, т.е для люб эл-ов х у из Е имеет место равенство (Ах,у)=(х,Ау).Св-ва 1.Для того чтоб лин опер А был самосопр необх и дост чтоб его матр в каком либо ортонорм баз была симметрической(A=Aт)2.Характерестич ур-ие самосопр опера имеет только действит корни.3.Собств эл самоспр опера А, отвечающие разлисн собств знач,ортогональны.4.Пусть А-самоспр опер н-мерного евклид пр-ва Е и к1,к2,..кн-попарно различн собвст знач этого опера тогда в Е сущ ортонорм базис , в котором матрица этого лин опера имеет диагональн вид, а диагональн эл-ми такой матрц явл собсвт знач к1,к2,..кн.5. Если A симметрич матр порядка n,тo суще такая невырожд матр Р порядка n, что P-1AP диагональная матрица с диагональными эл-и в виде собств знач к1,к2,...,кn матр А самосопр опера А. Теор.(о корнях). 1.В случ если матр А симметрич, все корни ее характ ур-ния det(A-kE)=0 действительны.2.Симметрич матр пор н имеет н собств знач с учетом их кратности. До-во св-ва 3. Пусть х1 и х2 собств эл опера А, отвеч разным собств знач к1,к2 и Ах1=к1х1,Ах2=к2х2. Тогда (Aх1,х2)=к1(х1,х2).Т.к А самосопр опер то (Ах1,х2)=(х1,Ах2)=к2(х1,х2).Из этих двух равенств след что, (к1-к2(х1,х2)=0, откуда поскольку к1<>к2 получ (х1,х2)=0.Док-во св-ва1: Поскольку по усл теор А-самосопр опер,то по определению самоспр опера он равен совему сопр оперу А=А*. Согласн теор о единственности самоспр опера матр лин опера в ортонорм биз совп со своей транспон матр как матр сопр опера, т.е.А=Ат. А такие матр и есть симметрические.

15. Сформулировать определение ортогонального оператора в евклидовом пространстве. Сформулировать определение ортогональной матрицы. Доказать свойства ортогональной матрицы. Опр. Лин опер А:Е-Е вклид пр-ва Е наз ортогон опером если для всех эл х у из Е вып соотн (Ах,Ау)=(х,у).Опр. Квадр матр О наз ортогон если вып усл ОтО=Е. Где Е–единич матр. Сво-ва:1.Опр ортогон матр О имеет одно из двух возм знач +-1. detO=+-1.<Возьмем опр от лев и прав частей равн ОтО=Е и с учетом св-ва произ-я опр-лей получ det(ОтО)= detОт detО=(detO)^2.detE=+-1.Откуда след что detO=+_1.> 2. Матр обр к ортогон матр О совп с ее трансп матр О^-1=Oт.<Поскольку ортогон матр невырожд она имеет обр матр О-1.Умножим соотн ОтО=Е справа на матр О-1 и получ (ОтО)О-1=ЕО-1. Откуда От(ОО-1)=О-1.Тогда учитывая что ОО-1=Е имем От=О-1.>3.Про-ние ортогон матр О на транспон по отн к ней матр равно единичн матр. ООт=Е.<Согл св-ву 2 о пред обр матр ООт=ОО-1=Е>4.Матр От, транспон по отн к ортог матр О, тоже явл ортогон.<Лев часть соот ОтО=Е для матр От имеет вид (От)тОт.Согл св-ву операц транспон (От)т=О.В силу св-ва 3 (От)тOт=ООт=Е>.5.Пусть ОиС ортог матр одного порядка.Тогда их пр-ние явл ортог матр-й.<Проверим выполнение равенства ОтО=Е для матр ОС. (ОС)т(ОС)=(СтОт)(ОС)=Ст(ОтО)С=СтЕС=СтС=Е>.6.Матр О-1,обратная ортог матр О,тоже явл ортог<Ортог матр невыражд и след-но имеет обр матр.По св-ву 2 матр О-1=От, а согл св-ву 4,От-матр ортог. >.

18. Сформулировать теорему о положительно определенной квадратичной форме (критерий Сильвестра) и её следствие. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратич форма F(х, х)=ХтBX была nолож определен необхи дост, чтобы все угловые миноры матрицы В этой формы были положит: дельта1>0…дельтаN>0.(Следствие)Для того что бы квадратичн форма Fn(х) была отриц определеной,необход и дост , чтобы послед угловых миноров ее матр было знакочередующейся.дельта1<0,дельта2>0,дельта3<0..(-1)^nдельтаn>0

16. Доказать теорему о матрице перехода в евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому. Теор.матр перех в евклид пр-ве от одного ортонорм баз к др есть матри ортогональная.<Пусть в н-мерном евклид пр-ве Е зад два ортонорм баз ф=(ф1…фн) стар и новый г=(г1…гн) связ между собой матр перех.Согласно опре матр мерех матр P сост из коор ст-цов эл-ов г1..гн нов баз г, разлож по эл-ам ф1..фн стар баз ф: P=(матр 4х4)> обознач через (в столбик) P1=(p11…pn1),…Pn=(p1n,..,pnn) коорд столбцы матр P.Тогда(в строчку)P=(P1,..,Pn).Рассмотрим(фото) PтР=встолбик(Р1т..Рnт)*в строчку(P1 P2 .. Pn)=матр (P1тР1,..,P1тРn | PnтР1,..,PnтРn)

Здесь P1,..,Pn столбцы коор. эл-ов ортонорм баз г в ортонорм баз ф.Матрич произвед PiтPj это запись в коор-ах скал пр-ния (gi,gj) эл нов баз g.В силу ортонорм баз g при i<>j это про-ние равно нулю, а приi=j-единице. Поэтому PтP=(единичная квадр матр по диагонали 1цы)=Е. Из получ равенства и определения ортог матр следует, P-ортог матр.

Билет 30.

Матрицу сост из столбцов коор-нат векторов (е вектор) (е1,..,ен) в базисе (е1,..,ен) наз-ся матр перехода от базиса ф к базису г. Алгоритм:Пусть в н-мерном ЛП V зад 2баз:старый ф=(ф1,…фн) ему сотв матр Ф,столбц котор явл коорд столбцы эл-ов баз ф=(ф1,…фн) и новый г=(г1,…,гн)(с соотв матр Г.Люб эл можн разложить по баз ф.В частностикаждыйэл-тнового баз можн линейно выразить через эл-ты стар баз((g1..n=p11f1+..+pn1fn и так n строк)).Данное соотн удобно записать в виде (g1,g2…gn)=(f1,..fn)*(матр P) или в матр форме G=FP.

5Коор эл-та в разн баз связ матр перех.

Xc=PXн,Xн=P-1Xс. Док-во св-ва нужное нам док-во. Пусть зад некот произвольн эл-т а∈V имеющ коор (столбец) (x1..xн)=X в стар баз f и коорд(x’1..x’н)=X’ в нов баз g. Тогда а=x1f1+..xнfн= x’1g1+..x’нgн. подст в это мн-во (g1=pf…+pnfn и так n-е кол-во строк) сгруппировав слагаемые с одинак сомножителями fi получ (x1-x’1p11-x’2p12-..x’np1n)f1+(x2-x’p21-x’2p22-...-x’np2n)f2+..+(xn-x’1pn1-x2’pn1-..-x’npnn)fn=0.т.к f1,f2..fn лин незав , то все коэф перед fi =0 т.е (система из n строк х1..n= x1-x’1p11-x’2p12-..x’np1n.) в матрич форме (х1..n)=(p11+..+p1n)(x’1..n) или X=PX’. В новом базисе из старого X’=P-1Х.

Однородн мн-лен второй степени от н перемен х1,..,хн с действит коэф bij наз кв форм

. (закон инерции квадратичных форм). Незав-мо от способа приведения квадратичной формы к каноничесr виду число ее положительных (а также число отрицател) канонических коэффициентов постоянно.

12. Сформулировать определение собственных значений и собственных элементов (векторов) линейного оператора. Сформулировать их свойства. Доказать теорему о линейной независимости собственных элементов (векторов) линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям. Доказать теорему об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно выбора базиса.

Опр. Ур-ние det(A-kE)=0 наз характер-им ур матр А лин опера А, а его корни-характ-ми значениями. лин.опера. Опр. Не нулевой элемент х из V наз собств эл лин опер A:V-V, если для некоторого действ числа выполн соотн Ах=kx. При этом число k наз собственным знач.лин.оператора.А. Cв-ва: все собств эл-ты отвеч одному и тому же собств знач ,вместе с нулевым эл-ом образуют линейное подпр-во.2.Систем собств эл-ов е1,..ен лин опера А соот поппарно различным собств знач л1…лн линейно независима.3.Если лин опер имеет н попарно различных собств знач то сущ базис эл-ов лин опера , в котором матрица этого опера диагональна. Теор 1 (сво-во) док :Док-во основано на методе мат индукции. По опр собств элементы явл ненулевыми поэтому утвзаведомо верно при n=1 .Пусть оно верно для люб сист из(n-1) собств эл-ов ,но не вернодля n таких эл-ов. Тогда сист эл-ов e1…en будет лин зависимой т.е. а1л1+..+аnлn=0(1) где аi(i=1,n) некот числа не = 0 одновременно , 0 –нулевой эл-т. Пусть а1<>0.Применим преобразование А:а1Ае1+..+аnАnеn=0 c учетом того что е1..ен собст эл-ты имеем А:а1ле1+..+аnлnеn=0(2) . Умножим соотн 1 на лn и почленно вычтем его из 2. а1(л1-л2)е1+..+аn-1(лn-1-лn-1)=0.Согласно принятому индуктивному предложению, из почленного соотнош, что все коэф при е1..еn должны быть =0.В частности а1(л1-лn)=0, что противоречит условию л1<>лn и предложение а1<>0,значит система собств эл-ов е1..еn лин опера А лин независима. (2):Теор2.  Характер-кий мн-н лин опера не завис от выбора баз . Док-во Пусть лин оперA:V--V в базисе е=(e1, e2,...,en) имеет матр А, а в баз е=(e’1, e’2,...,e’n) матр A'. Согласно теореме теор о связи между матр-и одного и того же лин опера в различн баз, эти матр подобны и связа- ны соотнош A=P-1AP, где Р-матр перех от баз e к базису e’. Тогда характер-кий многочлен опера А в базисе е’ det(A'-kE)=det(P-1AP-kP-1EP)=det(P-1(A-kE)P=detP-1 det(A-kE) detP=det(A-kE).Следовательно, при переходе к новому базису собсnd знач сохран. ТЕОР1 Пусть собственные значения  линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответствующих им собственных векторов  линейно независима . Док-во Пусть утвержд верно при n=m, т.е для произвольн системы из m собств векторов  . Добавим к системе векторов еще один собственный вектор , отвеч собств знач , и докаж, что расширенная таким обр система векторов останется лин нез.Рассм произвольн лин комб получ сист собственных векторов и предполож, что она равна нулевому вектору: . К равенству (1) применим линейный оператор A и в результате получ еще одно векторное рав-во: . Учтем, что векторы  являются собственными: Вспоминая, что система векторов  , по предположению, линейно независима, делаем вывод, что у полученной линейной комбинации все коэффициенты равны нулю:

Поскольку все собств знач λi попарн различны, то из равенств (3) след, что . Значит соотнош (1) можн запис в виде , а так как вектор ненулевой (как собственный вектор), то В итоге получ, что равенство (1) выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты , =0. Т.е. система векторов линейно независима.

13. Сформулировать определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве и его свойства. Матрица сопряженного оператора. Е-n мерное евклид пр-во.Опр.Лин опер A*:Е—Е наз сопр с лин лин опером A*:Е—Е если для люб эл х у из пр-ва Е вы прав-во (Aх,у)=(х,А*у).Св-ва: 1.(aA)*=aA*,а-произвол дейст число.2.(A*)*=A. A* сопр оператор.3.(A+B)*=A*+B*.4.(AB)=A*B*.5.Если лин опер А невыражд то сопр с ним А* такж не выражд и вып равент-во (А-1)*=(А*)-1. Опр. Для кажд лин преобр-я А евклид-а пр-ва сущ, и притом ед-ное, сопряженное с ним преобр-е А*, матр которого в фиксир ортонорм баз яв транспонированной по отношению к матрице преобразования А, т.е. А=Aт

17. Сформулировать: определение квадратичной формы и её матрицы; определение ранга квадратичной формы; закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Однородн мн-лен второй степени от н перемен х1,..,хн с действит коэф bij наз кв форм.

Кв. форм опр задание симметрич матр В=(bij) порядка н, наз матр кв. формы. Опр. Ранг матрицы В квадратичной формы называют рангом квадратичной формы, detВ дискриминантом квадратичной формы. Квадратичную форму называют невырожденной, если det B<>0, и вырожденной если det B<>0. (закон инерции квадратичных форм). Незав-мо от способа приведения квадратичной формы к каноничесr виду число ее положительных (а также число отрицател) канонических коэффициентов постоянно. Классифик. Квадратич форму F(х, х) наз полож определенной на пространстве Е, если F(х, х)>0 для люб ненул элемента х из Е и отриц опред на Е, если F(x, x)<0 для любого ненул элемента х из Е. Квадратичные формы, для которых при любых х выполнены неравенства F(х, х)>=0 F(х, х)>=0 (F(х, х)<=0),называют соответственно неотрицательно (неположит)определенными причем сущ элемент х, для кот F(х, х)=0. Квадратичную форму называют знакопеременной если сущ такие х и у, что F(x, x)>0 и F(у, у)<0.

Билет1.

Мн-во V элементов х.у.з…люб природы наз лин пр над полем Р если вып след усл.1.На мно-ве V опр операц сложения элементов т е кажд паре эл-ов х у из V поставлен в соотв эл з из V обозн з=х+у и наз суммой элеменов,2для эл-ов мн-ва V опр операц умножения на действ чисто, те кажд эл0ту х из ве и кажд числа л пост в соотв з из V. з=лх,3 указ операции подчин акс лин пр-ва.Аксиомы cложения:1.х+у=у+х переместительность 2. (х+у)+з=у+(х+з) ассоциативность. 3 Сущ эл в мн-ве такой что х+0=х .4 для люб эл-та х из V сущ такой х’ что х+х’=0. Акс умн: 1.х=х. 2.л(мх)=(лм)х . Акс связ опер умн и слож; 1.(л+м)х=лх+мх.]] 1.нул элемент 0 опр однозначно: <Пуст 0 и O нул э-ты про-ва В .Расм сумму 0+O вследствие того что О нул эл из акс 3 лин пр-ва получ что 0+О=0 а поск 0 так же 0+О=О+0=О.те0=О.2Для люб элемента х противвопол ему эдемент (–х) опред ожнозначно: Пусть для некоторого х сущ противополож э-т х’ и х’’. Покаж что они равны . х’+х” +х. Пользуясь акс 1-3 лин пр-ва и тем что х' противопож эл-ми получ х’+х” +х= х” +(х’+х)=х”+0=х”. Аналогичн убежд в том что х’+х” +х =(х”+х)+х=0+х’=х’>.

Опр.Лин опер А евклид пр-ва Е наз самосопр если А=А*, т.е для люб эл-ов х у из Е имеет место равенство (Ах,у)=(х,Ау).Св-ва 1.Для того чтоб лин опер А был самосопр необх и дост чтоб его матр в каком либо ортонорм баз была симметрической(A=Aт)2.Характерестич ур-ие самосопр опера имеет только действит корни.3.Собств эл самоспр опера А, отвечающие разлисн собств знач,ортогональны.4.Пусть А-самоспр опер н-мерного евклид пр-ва Е и к1,к2,..кн-попарно различн собвст знач этого опера тогда в Е сущ ортонорм базис , в котором матрица этого лин опера имеет диагональн вид, а диагональн эл-ми такой матрц явл собсвт знач к1,к2,..кн.5.

1.В случ если матр А симметрич, все корни ее характ ур-ния det(A-kE)=0 действительны.2.Симметрич матр пор н имеет н собств знач с учетом их кратности.

Билет2.

Лин пр-во E наз евклидн пр-вом если двум люб эл-ам х у из Е став в соотв действит число (х,у) наз скал произведением, таое что для любм эл-ов х у з и произвол действит число а вып аксиомы скал произ-ния :1.(х,у)=(х,y)-коммут.2.(х+у,з)=(х,у)+(у,з)-дистриб.3.(ах,у)=а(х,у)-ассоц.4.(х,х)>=0 причем (х,х)=0 лиш в том случ если х=0.К-Бун.Для дюбых двух эл-ов х у из евклид пр-ва E справ-во нер-во наз нер-вом К-Б. (х,у)^2<=(x,x)(y,y).

<Если (x,x)=0, то x=0, согласно сво-ву (0,y)=0, нер-во вып-ся. Обратимся к случ (x,x)<>0. Тогда для люб действит л в силу аксиомы:(x,x)>=0. вып неравенство (x-ly)(x-ly)>=0 и согласно окс скал пр-ния ((х,у+з)=(х,у)+(х,з))и(лх,у)=л(х,у) получаем (x-лy,x-лy)=(x,x)-2l(x,y)+l^2(y,y)>=0. Значения этого выраж не отриц при люб лямбда в частности при l=(x,y)/(y,y) *. Следовательно(х,х)-2*(х,у)+(*)^2(у,у)=(х,х)-(х,у)^2/(у,у)>=0 откуда и вытекает утв теоремы.

Непустое мн-во W лин про-ва V наз лин подпр-ом пр-ва V, есл для люб эл-ов х у из и люб числа а вып усл 1.х+у∈W. ах∈W.

Опр. Суммой W1 и W2 лин подп-ва называют совокупность всевозможных эл-ов х пространства V, которые могут быть представлены в виде х=х1+х2.х1.х2∈W.Пересеч линейных подпр-тв W1 и W2 называют совокупность элементов пр-тва V, одновременно ∈ и лин под-тву W1 и лин под-тву W2

Билет14.

. Опр. Лин опер А:Е-Е вклид пр-ва Е наз ортогон опером если для всех эл х у из Е вып соотн (Ах,Ау)=(х,у).Опр. Квадр матр О наз ортогон если вып усл ОтО=Е. Где Е–единич матр.

Теор.матр перех в евклид пр-ве от одного ортонорм баз к др есть матри ортогональная.<Пусть в н-мерном евклид пр-ве Е зад два ортонорм баз ф=(ф1…фн) стар и новый г=(г1…гн) связ между собой матр перех.Согласно опре матр мерех матр P сост из коор ст-цов эл-ов г1..гн нов баз г, разлож по эл-ам ф1..фн стар баз ф: P=(матр 4х4)> обознач через (в столбик) P1=(p11…pn1),…Pn=(p1n,..,pnn) коорд столбцы матр P.Тогда(в строчку)P=(P1,..,Pn).Рассмотрим(фото) PтР=встолбик(Р1т..Рnт)*в строчку(P1 P2 .. Pn)=матр (P1тР1,..,P1тРn | PnтР1,..,PnтРn)

Здесь P1,..,Pn столбцы коор. эл-ов ортонорм баз г в ортонорм баз ф.Матрич произвед PiтPj это запись в коор-ах скал пр-ния (gi,gj) эл нов баз g.В силу ортонорм баз g при i<>j это про-ние равно нулю, а приi=j-единице. Поэтому PтP=(единичная квадр матр по диагонали 1цы)=Е. Из получ равенства и определения ортог матр следует, P-ортог матр.

Непустое мн-во W лин про-ва V наз лин подпр-ом пр-ва V, есл для люб эл-ов х у из и люб числа а вып усл 1.х+у∈W. ах∈W.

Опр. Суммой W1 и W2 лин подп-ва называют совокупность всевозможных эл-ов х пространства V, которые могут быть представлены в виде х=х1+х2.х1.х2∈W.Пересеч линейных подпр-тв W1 и W2 называют совокупность элементов пр-тва V, одновременно ∈ и лин под-тву W1 и лин под-тву W2

Билет 17.

Лин пр-во E наз евклидн пр-вом если двум люб эл-ам х у из Е став в соотв действит число (х,у) наз скал произведением, таое что для любм эл-ов х у з и произвол действит число а вып аксиомы скал произ-ния :1.(х,у)=(х,y)-коммут.2.(х+у,з)=(х,у)+(у,з)-дистриб.3.(ах,у)=а(х,у)-ассоц.4.(х,х)>=0 причем (х,х)=0 лиш в том случ если х=0.К-Бун.Для дюбых двух эл-ов х у из евклид пр-ва E справ-во нер-во наз нер-вом К-Б. (х,у)^2<=(x,x)(y,y).

<Если (x,x)=0, то x=0, согласно сво-ву (0,y)=0, нер-во вып-ся. Обратимся к случ (x,x)<>0. Тогда для люб действит л в силу аксиомы:(x,x)>=0. вып неравенство (x-ly)(x-ly)>=0 и согласно окс скал пр-ния ((х,у+з)=(х,у)+(х,з))и(лх,у)=л(х,у) получаем (x-лy,x-лy)=(x,x)-2l(x,y)+l^2(y,y)>=0. Значения этого выраж не отриц при люб лямбда в частности при l=(x,y)/(y,y) *. Следовательно(х,х)-2*(х,у)+(*)^2(у,у)=(х,х)-(х,у)^2/(у,у)>=0 откуда и вытекает утв теоремы.

Систему элементов х1…xn линейного пространства называют линейно зависимой, если найдутся числа al,..., an, не все равные нулю и такие, что а1х1+…+анхн=0.Если равенство (1.1) выполняется только при а1=..=ан=0 то систему элементов называют линейно независимой. Критерий: для того что бы сист э-от х1…xn бфла лин зав необх и дост что бы один из эл-ов сист явл лин комб остальных.

Билет.18

Опр.Лин опер А евклид пр-ва Е наз самосопр если А=А*, т.е для люб эл-ов х у из Е имеет место равенство (Ах,у)=(х,Ау).

.Собств эл самоспр опера А, отвечающие разлисн собств знач,ортогональны.

До-во св-ва 3. Пусть х1 и х2 собств эл опера А, отвеч разным собств знач к1,к2 и Ах1=к1х1,Ах2=к2х2. Тогда (Aх1,х2)=к1(х1,х2).Т.к А самосопр опер то (Ах1,х2)=(х1,Ах2)=к2(х1,х2).Из этих двух равенств след что, (к1-к2(х1,х2)=0, откуда поскольку к1<>к2 получ (х1,х2)=0.

К 18 билету Мн-во V элементов х.у.з…люб природы наз лин пр над полем Р если вып след усл.1.На мно-ве V опр операц сложения элементов т е кажд паре эл-ов х у из V поставлен в соотв эл з из V обозн з=х+у и наз суммой элеменов,2для эл-ов мн-ва V опр операц умножения на действ чисто, те кажд эл0ту х из ве и кажд числа л пост в соотв з из V. з=лх,3 указ операции подчин акс лин пр-ва.Аксиомы cложения:1.х+у=у+х переместительность 2. (х+у)+з=у+(х+з) ассоциативность. 3 Сущ эл в мн-ве такой что х+0=х .4 для люб эл-та х из V сущ такой х’ что х+х’=0. Акс умн: 1.х=х. 2.л(мх)=(лм)х . Акс связ опер умн и слож; 1.(л+м)х=лх+мх.]] Мн-во V3(V2) всех свобод векторов в пр-ве на пло-ти с лин операц наp вект –лин пр-во т к верны все акс лин пр-ва. 2 Можн говорить о лин про-ве Рn многочленов степен не выше н с вещественными коэф.3 Мн-ва матриц m х n эл-ми кот яв действ числа с лин операц над матр уд всем акс лин пр-ва.4 Совокуп упоряд наборов(Е1…Еn) из n действ чисел. Операц слож и умн на действ ввод так . а) сложение (Е1…Еn)+(n1+n2)=(E1+n1,…,Еn+nn).[[

Опр.

Билет19.

. Отобр A:V-W из лин пр-ва V в лин пр-во W наз лин оператором, если выполн след усл. 1) A(x1+х2)=Axl+Ax2 для любых элементов x1,x2изV; 2)A(ах)=aАх люб эл хизЕ и люб числ a изR. МАТР А сост из коор столб-ов эл Аеi(i=1.n) в баз {е}=(е1,..ен) наз матр лин опера А в баз {е}.Теор.Матр А и А’ лин опера А:V—V отн базисов е и е’ лин пр-ва V связ след соотн A=P-1AP. P матр. перехода от баз е и е’…. Пусть у=Ах.Коор столб эл-ов х и у В стар баз е обознач через Х и Y, а в нов бази e’- через X' и Y'. В баз e действие лин опера А в матричной форме имеет вид Y=АХ. Взаимосвязь меж коор столбц в разн баз выражается через мат перех Р и рав-вами Х=РX’, Y=PY’ Тогда Y’=P-lY=P-l(AX)=P-1(APX')=(P-1AP)Х’.Получ равенство Y=(P-1AP)X' выражает в матричной форме действие лин опера А в базисе e, поэтому P-1=AP=A'.

Опр ортогон матр О имеет одно из двух возм знач +-1. detO=+-1.<Возьмем опр от лев и прав частей равн ОтО=Е и с учетом св-ва произ-я опр-лей получ det(ОтО)= detОт detО=(detO)^2.detE=+-1.Откуда след что detO=+_1.> 2. Матр обр к ортогон матр О совп с ее трансп матр О^-1=Oт.<Поскольку ортогон матр невырожд она имеет обр матр О-1.Умножим соотн ОтО=Е справа на матр О-1 и получ (ОтО)О-1=ЕО-1. Откуда От(ОО-1)=О-1.Тогда учитывая что ОО-1=Е имем От=О-1.>3.Про-ние ортогон матр О на транспон по отн к ней матр равно единичн матр. ООт=Е.<Согл св-ву 2 о пред обр матр ООт=ОО-1=Е>4.Матр От, транспон по отн к ортог матр О, тоже явл ортогон.<Лев часть соот ОтО=Е для матр От имеет вид (От)тОт.Согл св-ву операц транспон (От)т=О.В силу св-ва 3 (От)тOт=ООт=Е>.5.Пусть ОиС ортог матр одного порядка.Тогда их пр-ние явл ортог матр-й.<Проверим выполнение равенства ОтО=Е для матр ОС. (ОС)т(ОС)=(СтОт)(ОС)=Ст(ОтО)С=СтЕС=СтС=Е>.6.Матр О-1,обратная ортог матр О,тоже явл ортог<Ортог матр невыражд и след-но имеет обр матр.По св-ву 2 матр О-1=От, а согл св-ву 4,От-матр ортог. >.

Билет 20

Опр. Ур-ние det(A-kE)=0 наз характер-им ур матр А лин опера А, а его корни-характ-ми значениями. лин.опера. Опр. Не нулевой элемент х из V наз собств эл лин опер A:V-V, если для некоторого действ числа выполн соотн Ах=kx. При этом число k наз собственным знач.лин.оператора.А. Cв-ва: все собств эл-ты отвеч одному и тому же собств знач ,вместе с нулевым эл-ом образуют линейное подпр-во.2.Систем собств эл-ов е1,..ен лин опера А соот поппарно различным собств знач л1…лн линейно независима.3.Если лин опер имеет н попарно различных собств знач то сущ базис эл-ов лин опера , в котором матрица этого опера диагональна.

Теор 1 (сво-во) док :Док-во основано на методе мат индукции. По опр собств элементы явл ненулевыми поэтому утвзаведомо верно при n=1 .Пусть оно верно для люб сист из(n-1) собств эл-ов ,но не вернодля n таких эл-ов. Тогда сист эл-ов e1…en будет лин зависимой т.е. а1л1+..+аnлn=0(1) где аi(i=1,n) некот числа не = 0 одновременно , 0 –нулевой эл-т. Пусть а1<>0.Применим преобразование А:а1Ае1+..+аnАnеn=0 c учетом того что е1..ен собст эл-ты имеем А:а1ле1+..+аnлnеn=0(2) . Умножим соотн 1 на лn и почленно вычтем его из 2. а1(л1-л2)е1+..+аn-1(лn-1-лn-1)=0.Согласно принятому индуктивному предложению, из почленного соотнош, что все коэф при е1..еn должны быть =0.В частности а1(л1-лn)=0, что противоречит условию л1<>лn и предложение а1<>0,значит система собств эл-ов е1..еn лин опера А лин независима.

Лин пр-во E наз евклидн пр-вом если двум люб эл-ам х у из Е став в соотв действит число (х,у) наз скал произведением, таое что для любм эл-ов х у з и произвол действит число а вып аксиомы скал произ-ния :1.(х,у)=(х,y)-коммут.2.(х+у,з)=(х,у)+(у,з)-дистриб.3.(ах,у)=а(х,у)-ассоц.4.(х,х)>=0 причем (х,х)=0 лиш в том случ если х=0.

Билет 21

[[Мн-во V элементов х.у.з…люб природы наз лин пр над полем Р если вып след усл.1.На мно-ве V опр операц сложения элементов т е кажд паре эл-ов х у из V поставлен в соотв эл з из V обозн з=х+у и наз суммой элеменов,2для эл-ов мн-ва V опр операц умножения на действ чисто, те кажд эл0ту х из ве и кажд числа л пост в соотв з из V. з=лх,3 указ операции подчин акс лин пр-ва.Аксиомы cложения:1.х+у=у+х переместительность 2. (х+у)+з=у+(х+з) ассоциативность. 3 Сущ эл в мн-ве такой что х+0=х .4 для люб эл-та х из V сущ такой х’ что х+х’=0. Акс умн: 1.х=х. 2.л(мх)=(лм)х . Акс связ опер умн и слож; 1.(л+м)х=лх+мх.]]

[[1.нул элемент 0 опр однозначно: <Пуст 0 и O нул э-ты про-ва В .Расм сумму 0+O вследствие того что О нул эл из акс 3 лин пр-ва получ что 0+О=0 а поск 0 так же 0+О=О+0=О.те0=О.2Для люб элемента х противвопол ему эдемент (–х) опред ожнозначно: Пусть для некоторого х сущ противополож э-т х’ и х’’. Покаж что они равны . х’+х” +х. Пользуясь акс 1-3 лин пр-ва и тем что х' противопож эл-ми получ х’+х” +х= х” +(х’+х)=х”+0=х”. Аналогичн убежд в том что х’+х” +х =(х”+х)+х=0+х’=х’>.3. в пр-ном лин пр-ве нул эл 0 равен произведению произвольного эл-та х и числа 0. Для кажд эл-та х противоположный ему эл-т равен пр-нию х и действ числа (-1).444 Для люб вещ-ва числа алфа и 0 вып равенству алфа0=0.555 Из рав-ва –альфа0 получ 0=альфа0.

Однородн мн-лен второй степени от н перемен х1,..,хн с действит коэф bij наз кв форм

Кв. форм опр задание симметрич матр В=(bij) порядка н, наз матр кв. формы.

(закон инерции квадратичных форм). Незав-мо от способа приведения квадратичной формы к каноничесr виду число ее положительных (а также число отрицател) канонических коэффициентов постоянно.

Билет 22

Опр. Ур-ние det(A-kE)=0 наз характер-им ур матр А лин опера А, а его корни-характ-ми значениями. лин.опера. Опр. Не нулевой элемент х из V наз собств эл лин опер A:V-V, если для некоторого действ числа выполн соотн Ах=kx. При этом число k наз собственным знач.лин.оператора.А.

Теор2.  Характер-кий мн-н лин опера не завис от выбора баз . Док-во Пусть лин оперA:V--V в базисе е=(e1, e2,...,en) имеет матр А, а в баз е=(e’1, e’2,...,e’n) матр A'. Согласно теореме теор о связи между матр-и одного и того же лин опера в различн баз, эти матр подобны и связа- ны соотнош A=P-1AP, где Р-матр перех от баз e к базису e’. Тогда характер-кий многочлен опера А в базисе е’ det(A'-kE)=det(P-1AP-kP-1EP)=det(P-1(A-kE)P=detP-1 det(A-kE) detP=det(A-kE).Следовательно, при переходе к новому базису собсnd знач сохран. ТЕОР1 Пусть собственные значения  линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответствующих им собственных векторов  линейно независима . Док-во Пусть утвержд верно при n=m, т.е для произвольн системы из m собств векторов  . Добавим к системе векторов еще один собственный вектор , отвеч собств знач , и докаж, что расширенная таким обр система векторов останется лин нез.Рассм произвольн лин комб получ сист собственных векторов и предполож, что она равна нулевому вектору: . К равенству (1) применим линейный оператор A и в результате получ еще одно векторное рав-во: . Учтем, что векторы  являются собственными: Вспоминая, что система векторов  , по предположению, линейно независима, делаем вывод, что у полученной линейной комбинации все коэффициенты равны нулю:

Поскольку все собств знач λi попарн различны, то из равенств (3) след, что . Значит соотнош (1) можн запис в виде , а так как вектор ненулевой (как собственный вектор), то В итоге получ, что равенство (1) выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты , =0. Т.е. система векторов линейно независима.

Опр.Лин опер A*:Е—Е наз сопр с лин лин опером A*:Е—Е если для люб эл х у из пр-ва Е вы прав-во (Aх,у)=(х,А*у).Св-ва: 1.(aA)*=aA*,а-произвол дейст число.2.(A*)*=A. A* сопр оператор.3.(A+B)*=A*+B*.4.(AB)=A*B*.5.Если лин опер А невыражд то сопр с ним А* такж не выражд и вып равент-во (А-1)*=(А*)-1.

Билет23.

Лин пр-во E наз евклидн пр-вом если двум люб эл-ам х у из Е став в соотв действит число (х,у) наз скал произведением, таое что для любм эл-ов х у з и произвол действит число а вып аксиомы скал произ-ния :1.(х,у)=(х,y)-коммут.2.(х+у,з)=(х,у)+(у,з)-дистриб.3.(ах,у)=а(х,у)-ассоц.4.(х,х)>=0 причем (х,х)=0 лиш в том случ если х=0.К-Бун.Для дюбых двух эл-ов х у из евклид пр-ва E справ-во нер-во наз нер-вом

К-Б. (х,у)^2<=(x,x)(y,y).<Если (x,x)=0, то x=0, согласно сво-ву (0,y)=0, нер-во вып-ся. Обратимся к случ (x,x)<>0. Тогда для люб действит л в силу аксиомы:(x,x)>=0. вып неравенство (x-ly)(x-ly)>=0 и согласно окс скал пр-ния ((х,у+з)=(х,у)+(х,з))и(лх,у)=л(х,у) получаем (x-лy,x-лy)=(x,x)-2l(x,y)+l^2(y,y)>=0. Значения этого выраж не отриц при люб лямбда в частности при l=(x,y)/(y,y) *. Следовательно(х,х)-2*(х,у)+(*)^2(у,у)=(х,х)-(х,у)^2/(у,у)>=0 откуда и вытекает утв теоремы.

Матрицу сост из столбцов коор-нат векторов (е вектор) (е1,..,ен) в базисе (е1,..,ен) наз-ся матр перехода от базиса ф к базису г.

Алгоритм:Пусть в н-мерном ЛП V зад 2баз:старый ф=(ф1,…фн) ему сотв матр Ф,столбц котор явл коорд столбцы эл-ов баз ф=(ф1,…фн) и новый г=(г1,…,гн)(с соотв матр Г.Люб эл можн разложить по баз ф.В частностикаждыйэл-тнового баз можн линейно выразить через эл-ты стар баз((g1..n=p11f1+..+pn1fn и так n строк)).Данное соотн удобно записать в виде (g1,g2…gn)=(f1,..fn)*(матр P) или в матр форме G=FP.

Билет 24

Пусть в пр-ве Еn задана сист n лин нез эл an, a2,...,an, образ-их некотор баз. Построим в En opтoнорм-ую сист из n элементов с помощ лин комбинир-ия этих эл и операц вычисления нормы. Положим b1=al. Найдем второй элемент b2, исходя из того, что он должен быть ортог 1му эл b. Положим b2=a2-α1b1 и подберем α так чтоб (b1,b2) и подберем постоянную а1 так что бы (b2,b1)=0 из равенства (b2,b1)=(a2-a1b1)=(a2,b2)-a1(b1,b1)=0 получим а1=(а2,b1)/ (b1,b1).Таким образом элемент b2= a2-((а2,b1)/ (b1,b1))*b1 ортогонален b1. На основе эл-ов b1,b2 и зад эл-та а3 построим эл-т (00) b3=a3-б1b1-б2b2. Который должен быть ортогонален b1 та ки эл-ту b2. Б1 и б2 должны уд усл (b2,b1)=0 и (b3,b2)=0. Подст в эти равенства b3 из соот (00) ,с учетом ортогональности b1 и b2 получ (b3,b2)=(a3,b1)-б(b1,b1)=0; (b2,b2)= (a2,b2)-б(b2,b2) откуда б1=(a3,b1)/(b1,b1); б2=(a3,b2)/(b2,b2) таким образом элемент b3=a3-б1*b1-б2*b2.Откуда

Bk=ak-((ak,b1)/(b1,b1))b1-((ak,b2)/(b2,b2))b2-((ak,bk-1)/(bk-1,bk-1))bk-1. Ортогонален b1,b2…bk-1,(k=3,n).

л bk есть лин комб эл b1,b2,...,bk-1, Соотв,эл bk можн запис след образ: bk= α1a1+α 2a2+...+αk-1ak-1+ak.(*)Отсюда видно,что bк<>0, т к в противн случ правая часть равенства(*)была бы нул эле, что противореч усл лин неза эл al,a2,...,ak (коэффициент при ak равен единице).Доказано bk<>0 Полуx система эл b1,b2,...,bn ортог базис.Разделив кажд из получ эл на его длину, построим ортoнор сист (ортонормированный базис)e1=b1/||b1||,…,en=bn/||bn||.Таким обр, полностью обоснован процесс ортогон-ции.

[[Мн-во V элементов х.у.з…люб природы наз лин пр над полем Р если вып след усл.1.На мно-ве V опр операц сложения элементов т е кажд паре эл-ов х у из V поставлен в соотв эл з из V обозн з=х+у и наз суммой элеменов,2для эл-ов мн-ва V опр операц умножения на действ чисто, те кажд эл0ту х из ве и кажд числа л пост в соотв з из V. з=лх,3 указ операции подчин акс лин пр-ва.]] Мн-во V3(V2) всех свобод векторов в пр-ве на пло-ти с лин операц наp вект –лин пр-во т к верны все акс лин пр-ва. 2 Можн говорить о лин про-ве Рn многочленов степен не выше н с вещественными коэф.3 Мн-ва матриц m х n эл-ми кот яв действ числа с лин операц над матр уд всем акс лин пр-ва.4 Совокуп упоряд наборов(Е1…Еn) из n действ чисел.(Аксиомы билет 1)

Билет 25

Опр.Совокупность линейно независимых векторов, порожда-ющих линейное пространство V,называют базисом этого пространства.

Опр.Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства. Пусть элементы в1,в2..вн базис лин пр-ва V тогда согласно определния базиса любой э-т из V может быть записан в виде х=х1в1+х2в2..хнвн. Коэф при в наз-ся коор-ми э-та х в басизе.

Теорема: Любой э-т в лин-ом пр-ве имеет ед-ное разл по данном базису. Пусть в линейном пространстве V задан произвольный базис b,...,bn, и предположим, что элемент х из V имеет в этом базисе два разложения:х=СумXiBi b СумX’iBi. Учитывая, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические комбинации вычтем записанные равенства почленно.Получим сум(Xi-X’i)Bi. Если хотя бы одно из выражений скобках окажется не равным в нулю, то система базисных элементов будет линейно зависимой, что противоречит определению базиса. Таким образом,Xi=X’i и два разложения элемента х в базисе b,...,bn совпадают.

Квадр матр О наз ортогон если вып усл ОтО=Е. Где Е–единич матр. Сво-ва:1.Опр ортогон матр О имеет одно из двух возм знач +-1. detO=+-1. 2. Матр обр к ортогон матр О совп с ее трансп матр О^-1=Oт.3.Про-ние ортогон матр О на транспон по отн к ней матр равно единичн матр. ООт=Е. 4.Матр От, транспон по отн к ортог матр О, тоже явл ортогон.5.Пусть ОиС ортог матр одного порядка.Тогда их пр-ние явл ортог матр-й. 6.Матр О-1,обратная ортог матр О,тоже явл ортог.

Билет 26.

Лин об L(X) подмн-ва Х лин пр-ва V наз. Совокуп всевозм-х лин комб ах1+…+анхн эл-ов х1,..,хн∈Х.

Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Билет 27.

Систему элементов х1…xn линейного пространства называют линейно зависимой, если найдутся числа al,..., an, не все равные нулю и такие, что а1х1+…+анхн=0.Если равенство выполняется только при а1=..=ан=0 то систему элементов называют линейно независимой. Критерий: для того что бы сист э-от х1…xn бфла лин зав необх и дост что бы один из эл-ов сист явл лин комб остальных

Билет 28.

Опр.Лин опер А евклид пр-ва Е наз самосопр если А=А*, т.е для люб эл-ов х у из Е имеет место равенство (Ах,у)=(х,Ау)

3.Собств эл самоспр опера А, отвечающие разлисн собств знач,ортогональны.

До-во св-ва 3. Пусть х1 и х2 собств эл опера А, отвеч разным собств знач к1,к2 и Ах1=к1х1,Ах2=к2х2. Тогда (Aх1,х2)=к1(х1,х2).Т.к А самосопр опер то (Ах1,х2)=(х1,Ах2)=к2(х1,х2).Из этих двух равенств след что, (к1-к2(х1,х2)=0, откуда поскольку к1<>к2 получ (х1,х2)=0.
Непустое мн-во W лин про-ва V наз лин подпр-ом пр-ва V, есл для люб эл-ов х у из и люб числа а вып усл 1.х+у∈W. ах∈W. Св-ва:Если х1…хн эл-ты лин подпр-ва W, то люб их лин комб ах1+…+ахн также ∈W.2Лин подпр-ва W само явл лин пр-вом.3Раз-сть люб подпр-ва лин про-ва не превосход разм самого пр-ва. Опр. Суммой W1 и W2 лин подп-ва называют совокупность всевозможных эл-ов х пространства V, которые могут быть представлены в виде х=х1+х2.х1.х2∈W.Пересеч линейных подпр-тв W1 и W2 называют совокупность элементов пр-тва V, одновременно ∈ и лин под-тву W1 и лин под-тву W2.

Опр.Обл.наз мн-во точек пл-ти облад св-ми открыточти и связности. Открытости-кажд точка принадл ей вместе со своей окрестностью.Связность-любые 2 точки можно соеденить ломаной линией сост только из точек области.Опр.Граница области –совокупность всех граничных точек этой области .Совокупность границы и области наз замкнутой областью. Опр. Пусть задана фнп f:R^n—R^m.Мн-во{x из R^n:f(x)=c},где с принадл R^m фиксированное , наз пов-тью уровня, соответствующ значению с.В том случаем если m=1 n=2 мн-во f^-1(c) будем называть линией уровня.

Билет 29.

Опр. Ур-ние det(A-kE)=0 наз характер-им ур матр А лин опера А, а его корни-характ-ми значениями. лин.опера. Опр. Не нулевой элемент х из V наз собств эл лин опер A:V-V, если для некоторого действ числа выполн соотн Ах=kx. При этом число k наз собственным знач.лин.оператора.А.

2.Систем собств эл-ов е1,..ен лин опера А соот поппарно различным собств знач л1…лн линейно независима.3

Теор 1 (сво-во) док :Док-во основано на методе мат индукции. По опр собств элементы явл ненулевыми поэтому утвзаведомо верно при n=1 .Пусть оно верно для люб сист из(n-1) собств эл-ов ,но не вернодля n таких эл-ов. Тогда сист эл-ов e1…en будет лин зависимой т.е. а1л1+..+аnлn=0(1) где аi(i=1,n) некот числа не = 0 одновременно , 0 –нулевой эл-т. Пусть а1<>0.Применим преобразование А:а1Ае1+..+аnАnеn=0 c учетом того что е1..ен собст эл-ты имеем А:а1ле1+..+аnлnеn=0(2) . Умножим соотн 1 на лn и почленно вычтем его из 2. а1(л1-л2)е1+..+аn-1(лn-1-лn-1)=0.Согласно принятому индуктивному предложению, из почленного соотнош, что все коэф при е1..еn должны быть =0.В частности а1(л1-лn)=0, что противоречит условию л1<>лn и предложение а1<>0,значит система собств эл-ов е1..еn лин опера А лин независима.

Опр.Лин опер A*:Е—Е наз сопр с лин лин опером A*:Е—Е если для люб эл х у из пр-ва Е вы прав-во (Aх,у)=(х,А*у).

Св-ва: 1.(aA)*=aA*,а-произвол дейст число.2.(A*)*=A. A* сопр оператор.3.(A+B)*=A*+B*.4.(AB)=A*B*.5.Если лин опер А невыражд то сопр с ним А* такж не выражд и вып равент-во (А-1)*=(А*)-1.