Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 9

Лекция № 9

Исследование с помощью численных методов

Продолжение

Содержание

Обзор методов решения задач математический физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями 2

Примеры построения задачи Коши 2

Одношаговые методы решения задачи Коши 9

Методы прогноза и коррекции 15

«Жесткие» задачи 22

Обзор методов решения задач математический физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

Напомним, что в зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных, дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называют частными. В практике проектирования ЛА обыкновенные дифференциальные уравнения часто используют при расчете траекторных параметров и динамических характеристик. Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче - граничными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Примеры построения задачи Коши

В этом разделе мы построим две математические модели, представляю­щие собой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; одну модель — из области экологии, другую — из области аэронавтики.

Модель типа хищник - жертва

Рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействую­щих между собой по типу хищник - жертва. При этом предполагается; что жертва может найти достаточно пищи для пропитания, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву. Примеры таких межвидо­вых взаимоотношений дают волки и кролики, паразиты и некоторые ор­ганизмы, на которых они паразитируют. Наша цель — исследовать измене­ние во времени популяций хищников и жертв.

Обозначим соответственно через x = x(t) и y=y(t) количество жертв и хищников в момент времени t. Чтобы получить математические уравне­ния, которые приближенно описывают динамику популяций, мы сделаем несколько упрощающих предположений. Во – первых, предположим, что норма рождаемости жертв и норма естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищниками) – являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью .

Во – вторых, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от вероятности их встречи и, следо­вательно, пропорционально произведению ху. Объединяя эти два предполо­жения, получаем, что популяция жертв подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению:

Где , а (5.2.1)

Чтобы вывести уравнение, описывающее популяцию хищников, предположим, что при отсутствии жертв число хищников по естественным причинам убывает, что задается членом . В то же время в результате встреч с жертвами число хищников увеличивается, что ведет к уравнению:

С (5.2.2)

Таким образом, мы пришли к нелинейной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2.1) и (5.2.2).

Эти уравнения были впервые выведены в 1925 г. и известны как уравнения Лотки— Вольтерра. Однако задача пока сформулирована не полностью; мы должны начать процесс в неко­торый момент времени (например, при t = 0) с заданными значениями начальных популяций x(0) и у (0). Таким образом, дополняем дифферен­циальные уравнения двумя начальными условиями:

Задача о траектории

Предположим, что ракета запускается под заданным углом наклона к поверхности (угол запуска). На какую высоту поднимется ракета? Ответ на этот вопрос зависит от целого ряда факторов: характеристик ракеты и ее двигателя, сопротивления воздуха, гравитационных сил и т.д.

Чтобы построить математическую модель этой задачи, мы должны сделать ряд упрощающих предположений. Во-первых, ограничимся рассмотрением ракет, поднимающихся вверх и перемещающихся вдоль поверхности Земли на расстояния, не превышающие 100 км. В этом случае без существенной потери точности можем считать, что Земля плоская. Во-вторых, предположим, что вся траектория ракеты лежит в одной плос­кости, т.е. предполагается отсутствие бокового ветра и т.д. Используя эти два предположения, выбираем двумерную систему координат с на­чалом в месте старта.

Типичная траектория представлена на рисунке.

Функции x(t) и y(t) обозначают координаты х и у ракеты в момент времени t, причем считаем, что ракета стартует при t = 0, так что

(5.2.5)

Если обозначить производные по времени, как и , то вектор скорости ракеты в момент t представится в виде . Будем обозначать величину вектора скорости через , а угол с горизонтом через , как это показано на рисунке. Эти величины тогда определяется выражениями:

(5.2.6)

Основная математическая модель траектории выводится из второго закона Ньютона:

Здесь m(t) — масса ракеты, F — результирующая действующих на ракету сил, которая состоит из трех слагаемых:

1. – силы тяги при работе двигателя, T(t)

2. – силы сопротивления (5.2.8)

Где с – коэффициент сопротивления, – плотность воздуха и s – поперечное сечение ракеты

1. – силы гравитации mg, где g – ускорение свободного падения.

Чтобы записать уравнение (5.2.7) в переменных x и у, заметим, что сила тяги и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Если мы обозначим эту часть результирующей силы F через F₁ , то

(5.2.9)

Так как сила гравитации действует только в вертикальном направлении, уравнение (2.1.7) можно записать покоординатно следующим образом:

(5.2.10)

Используя (5.2.9) и меняя порядок членов, перепишем уравнения (5.2.10) в виде:

(5.2.11)

Это связанная система двух нелинейных (см. соотношения (5.2.6)) дифференциальных уравнений второго порядка. Мы предполагаем, что с и s - известные постоянные, р — известная функция у (т.е. высоты над поверхностью), Т и m (а следовательно, и ) – известные функции t. (Изменение массы обусловлено расходом топлива.)

Решение системы (5.2.11) должно удовлетворять (5.2.5), что дает два из четырех необходимых начальных условий. Другие два условия даются соотношениями: . (5.2.12)

Таким образом, при заданных характеристиках ракеты имеется только один свободный параметр — угол запуска , причем его изменение будет, очевидно, приводить к изменению траектории.

Уравнения (5.2.11) могут служить математической моделью и для таких баллистических задач, как полет снаряда, выстреленного из артиллерийско­го орудия, или камня, запущенного из рогатки. В таком случае предполагаем, что тело стартует с заданной скоростью v₀, так что условия (5.2.12) заменяются на условия: . (5.2.13)

В этом случае отсутствует сила тяги и, следовательно, нет изменения массы, так что уравнения (5.2.11) упрощаются и принимают вид:

(5.2.14)

Который показывает, что в такой упрощенной модели при заданных началь­ной скорости и угле запуска траектория зависит только от сопротивления воздуха и силы земного притяжения.

Теперь наша задача заключается в решении уравнений (5.2.11) с началь­ными условиями (5.2.5) и (5.2.13). Мы в дальнейшем будем использовать условия (5.2.13), поскольку они как частный случай включают ус­ловия (5.2.12). В том тривиальном случае, когда отсутствуют как сила тяги, так и сопротивление воздуха, эти уравнения допускают явное решение. Однако при любом сколько-нибудь реальном задании плотности воздуха и силы тяги такое решение оказывается невозможным и возникает необходимость в приближенном численном решении.

Для численного решения удобно преобразовать два уравнения второго порядка (5.2.11) в систему четырех уравнений первого порядка. Дифференцируя соотношения:

(5.2.15)

Имеем:

(5.2.16)

Подставляя теперь (5.2.15) и (5.2.16) в уравнения (5.2.11) и разрешая последние относительно и , получаем:

(5.2.17)

(5.2.18)

Уравнения (5.2.17) и (5.2.18) вместе с (5.2.15) составляют систему четы­рех уравнений первого порядка относительно функций х, у, и . Началь­ные условия по-прежнему задаются соотношениями (5.2.5) и (5.2.13).

Примером также может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на пружине. Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором независимой переменной является время t. Если дополнительные условия заданы в виде значений перемещения и скорости при t = 0, то имеем задачу Коши. Для той же механической системы можно сформулировать и краевую задачу. В этом случае одно из условий должно состоять в задании перемещения по истечении некоторого промежутка времени. В краевых задачах в качестве перемещений часто выступает длина. Известным примером такого рода является дифференциальное уравнение, описывающее деформацию упругого стержня.

В этом случае граничные условия обычно задаются на обоих концах стержня.

Итак, задача Коши формулируется следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию Y(X), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной, а затем, задавая малое перемещение X и переходя к новой точке X₁=X₀+h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая Y=f(X). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей. Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания, и число разработанных для него методов очень велико. Коротко рассмотрим наиболее из распространенных методик:

1. Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой Y=f(X), требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге-Кутта.

2. Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой Y=f(X), требуется информация более, чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хеминга. Особняком стоят разностные методы, редко используемые для решения задач Коши. Прежде, чем перейти к общим характеристикам методов остановимся на источниках погрешностей, связанных с численной аппроксимацией. Таких источников три:

1. Погрешность округления обусловлена ограничениями на представление чисел в используемой ЭВМ, так как для любой из них число значащих цифр, запоминаемых и используемых в вычислениях, ограничено.

2. Погрешность усечения связана с тем, что для аппроксимации функции вместо бесконечных рядов часто используются лишь несколько первых их членов.

3. Погрешность распространения является результатом накопления погрешностей, появившихся на предыдущих этапах счета.

Указанные три источника погрешностей являются причиной наблюдаемых ошибок двух типов:

1. Локальная ошибка - сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений

2. Глобальная ошибка - разность между вычисленным и точным значением величины на каждом этапе реализации численного алгоритма, определяющая суммарную погрешность, накопившуюся с момента начала вычислений

Одношаговые методы решения задачи Коши