Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 5

Лекция № 5

Автоматизированное проектирование плоских ферменных конструкций

Содержание

Постановка задачи 2

Структурная оптимизация. Выбор силовой схемы ферменной конструкции 9

Метод силового анализа 11

Оценка эффективности силовых схем 13

Расчет силового веса теоретически оптимальной конструкции 15

Расчет напряженно – деформированного состояния 15

Расчет напряженно – деформированного состояния ферменной конструкции 16

Расчет напряженно – деформированного состояния пластины 18

Параметрическая оптимизация 20

Постановка задачи 20

Алгоритм отыскания равнонапряженных конструкций 22

Выбор материалов 25

Учебная САПР «Ферма» 27

Общая структура и функциональная схема учебной САПР «Ферма» 30

Методика использования учебной САПР «Ферма» для проектирования плоских ферменных конструкций 34

Список литературы 38

Наиболее доступным для анализа силовой работы конструкций являются задачи, в которых реализуется плоское напряженно-деформированное состояние. На плоских конструкциях проще изучать рациональные способы и закономерности передачи усилий. Эти конструкции весьма легко воспринимаются и достаточно просто изображаются графически. Конечно-элементные модели (КЭМ) плоских конструкций имеют значительно меньшую размерность по сравнению с пространственными схемами, что упрощает не только их построение и сокращает время подготовки исходных данных, но и облегчает обработку результатов расчетов. Следует отметить, что конструкции многих технических объектов, например, планера самолета, являются каркасными конструкциями с работающей в мембранном режиме обшивкой. Многие элементы каркаса: шпангоуты, нервюры, стенки лонжеронов и т.д. — также находятся в плоском напряженном состоянии. То есть, плоские задачи составляют значительную часть в общем объеме выполняемых реальных проектов силовых конструкций. Поэтому первоначальное обучение силовому проектированию целесообразно начинать именно с таких задач. Кроме того, использование малоразмерных моделей МКЭ позволяет сократить длительность их обработки в проектных процедурах, что имеет весьма большое значение в условиях интерактивной работы при обучении. Упрощается также программное и информационное обеспечение учебной системы, снижаются требования к характеристикам используемых технических средств.

Постановка задачи

Постановка типовой учебной проектно-конструкторской задачи может выглядеть так [7]:

Задается расположение нагрузок и закреплений, а также габариты плоской проектной области, в которую должна быть вписана конструкция. Требуется найти рациональную по критерию массы (силового веса) схему плоской конструкции. Некоторые типовые задания на проектирование силовых схем показаны на рис. 2.5., где Р_I и Р_II — две разновременно действующие силы (т.е. два случая нагружения, два расчетных случая).

Проектная задача в такой постановке разделяется на два этапа:

1. – отыскание рациональной структуры конструкции (структурная оптимизация)

2. – отыскание в рамках принятой структуры рациональных параметров элементов конструкции (параметрическая оптимизация)

Для таких проектно-конструкторских задач можно предложить большое количество плоских силовых конструкций различного типа: балочных, рамных, ферменных, в виде пластин, либо конструкций смешанного типа. На рис. 2.6. , например, для первого из показанных на рис. 2.5. задания, приведены возможные варианты исполнения в виде балки (1), пластины (2) и фермы (3).

Самой простой из всех типов конструкций является ферма, которая по своему построению и начертанию наиболее близка к понятию силовойструктуры. На рис. 2.7. изображены типовые ферменные самолетные конструкции (лонжерон и нервюра), а на рис. 2.8. – ферма, широко распространенная при строительстве зданий.

К тому же ферменные конструкции, в силу одноосной работы их элементов, дают наглядное представление о путях передачи сил и поэтому удобны для изучения закономерностей силовой работы конструкций. Как уже указывалось, ферма была одним из первых объектов применения оптимизационных методов. Однако, несмотря на простоту постановки и представления, задачи проектирования рациональных ферменных конструкций, особенно конструкций, работающих на несколько расчетных случаев, являются весьма нетривиальными. Даже для вариантов с малым числом закреплений и нагрузок можно предложить довольно большое количество разнообразных структур различной сложности, что представляет обучаемым широкое поле деятельности по генерированию эвристических конструкций.

Для исследования влияния распределения материала в силовых конструкциях (параметрическая оптимизация) использование ферм, с точки зрения обучения, также может быть довольно удобным. В качестве проектных переменных будем использовать площади поперечных сечений стержней.

Приведенные выше соображения позволяют выбрать для исследования на начальной стадии подготовки к силовому проектированию простые ферменные конструкции (плоский случай).

Фермой называется конструкция (геометрически неизменяемая система), состоящая из прямолинейных стержней, соединенных шарнирами по концам.

Под геометрической неизменяемостью понимают способность системы не допускать относительного перемещения своих частей без их деформации. Стержни фермы работают на растяжение и сжатие.

Основное назначение фермы состоит в “передаче” воздействий, прикладываемых в некоторых заданных точках, на опорные узлы.

Рассматриваемые обычно в теории оптимального проектирования задачи заключаются в минимизации количества материала (веса фермы) за счет соответствующего выбора положения узлов фермы и площадей поперечных сечений ее элементов.

Реальная ферма имеет жесткие узлы крепления, поэтому она является многократно статически неопределимой системой. В расчетах обычно фигурирует не реальная конструкция, а расчетная схема. На рис. 5 представлены ферменная конструкция (слева) и расчетная схема фермы (справа).

Расчетной схемой конструкции (в том числе и ферменной) называется упрощенное ее представление (модель), которое фигурирует в процессе расчета вместо действительной конструкции. В частности, исследования различных ферменных конструкций показали, что если жесткие узлы фермы заменить идеальными шарнирами, то это допущение незначительно изменит значения усилий в стержнях фермы.

Поэтому за расчетную схему ферменной конструкции принимают систему, у которой стержни по концам соединены идеальными шарнирами.

Учитывая, что расчётная схема предопределяет пути передачи сил от одного стержня к другому, от одной точки пространства к другой, расчетную схему называют также и силовой.

Проектировщик, разрабатывающий подобную силовую конструкцию, обычно ограничен размерами пространства, в котором он может разместить ферму, ограничен он также и расположением возможных точек закрепления фермы и точек приложения сил, возможны также другие ограничения.

Поэтому типовая задача проектирования плоской фермы может быть сформулирована следующим образом.

Считаются заданными:

• габариты проектной области (в нашем случае прямоугольной), в которой необходимо разместить конструкцию

• величины нагрузок, их направления, координаты точек приложения сил

• условия закрепления фермы: координаты и типы опор, возможные места расположения опор

Требуется в заданных габаритах проектной области найти (спроектировать) рациональную схему плоской ферменной конструкции и оптимальное распределение материала в ней.

Как уже говорилось, в процессе проектирования силовых конструкций можно выделить два основных этапа:

• проектирование структуры, или структурная оптимизация. На этом этапе отыскивается силовая схема или несущая структура конструкции, которая представляет собой основные пути передачи усилий. При проектировании силовых схем на основе характера нагружения и закрепления определяются расположение и взаимосвязь основных конструктивных элементов.

• параметрическая оптимизация, в процессе которой производится отыскание наилучших параметров элементов конструкции: назначение толщин элементов, подбор поперечных сечений и т.п.

Задачи параметрической оптимизации в достаточной мере формализованы и успешно решаются с использованием различных оптимизационных методов. Значительно менее формализованными являются задачи структурной оптимизации.

При эвристическом решении поставленной задачи силовая схема конструкции выбирается проектировщиком на основе ранее приобретенных знаний, накопленного опыта и интуиции, что в принципе представляет собой нетривиальную задачу, особенно если для исходной области поставлено несколько расчетных случаев.

Именно поэтому на первом этапе проектирования силовых конструкций (проектирование структуры) целесообразно использовать специальные критерии и специальные приемы такие, как, например, силовой вес теоретически оптимальной конструкции (ТОК) и исследование напряженно-деформированного состояния континуальной модели, вписанной в заданную проектную область и соответственно нагруженную.

Для получения силового веса ТОК в исходную проектную область вписывается, а затем рассчитывается континуальная модель, представляющая собой изотропную пластину постоянной толщины при заданных условиях нагружения и закрепления. Существенная особенность такой модели заключается в том, что она, в силу изотропии свойств, не предопределяет, как ферма, пути передачи усилий в проектной области.

Итак, для получения силовой структуры конструкции в область, ограниченной внешними размерами проектируемой конструкции, вписывается некоторая континуальная модель, включающая в себя потенциально наибольшее число возможных схем, после чего ищется оптимальное распределение материала в выбранной модели и находится, таким образом, теоретически оптимальная конструкция.

Геометрическая неизменяемость ферм

Числом степеней свободы механической системы называется количество геометрических параметров, которые могут изменяться во время движения системы. Другими словами, числом степеней свободы называется количество независимых координат, которые определяют положение системы при ее перемещениях.

Устройства, лишающие систему одной или нескольких степеней свободы, называются связью или связями. Ферму можно рассматривать как механическую систему точек (узлы фермы), на которую наложены связи (стержни). Стержень в плоских и пространственных системах накладывает одну связь, т. е. лишает систему одной степени свободы. Число степеней свободы для плоских ферм определяется формулой:

,

где Y — число узлов фермы (включая опоры фермы)

С — число стержней фермы

K — число связей, накладываемых опорами

Если , то ферма геометрически неизменяема и перемещения ее частей не могут происходить без деформации составляющих ее элементов. В противном случае ферма — механизм и не может работать как силовая конструкция.

Например, в следующей ферме (рис. 2.10., слева) Y=C=K=8, W=0, т.е. ферма содержит минимальное число стержней для обеспечения геометрической неизменяемости. Если в этой ферме удалить опорный стержень А, то получим геометрически изменяемую систему. Если же вместо стержня А поставить стержень В (ферма справа), то опять получим геометрически неизменяемую систему. Данный подход к определению геометрической неизменяемости ферменной конструкции является несколько упрощенным — не учитывает топологии фермы и некоторых других аспектов, что иногда приводит к неверным выводам о геометрической неизменяемости некоторых ферменных конструкций.

Структурная оптимизация. Выбор силовой схемы ферменной конструкции