Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 15

Лекция № 15

Метод конечных элементов

Вариационной подход построения матрицы жесткости КЭ и всей системы

Продолжение

Содержание

Реализация вариационного подхода в МКЭ в прикладных областях на примере задач теории упругости и строительной механики 2

Построение матрицы жесткости КЭ вариационным методом (треугольный конечный элемент) 6

Построение матрицы жесткости системы (пластины) 11

МКЭ и МКР 16

Приложение. Примеры использования вариационного подхода 17

Пример 1 17

Пример 2 18

Реализация вариационного подхода в МКЭ в прикладных областях на примере задач теории упругости и строительной механики

Очевидно, что применение МКЭ в любой прикладной науке накладывает определенную специфику на реализацию МКЭ. Эта специфика зачастую облегчает не только большее понимание математических операций, происходящих при реализации МКЭ, но и упрощает организацию и выполнение программ.

Напомним, что в соответствии с положениями МКЭ интерполирующий полином представляется в виде:

Где: – вектор – столбец, состоящий из rузловых неизвестных е – го конечного элемента

– вектор – строка, элементами которой являются известные функции координат точек

Затем для e -го конечного элемента составляют выражение соответствующее рассматриваемой краевой задаче функционала и тогда функционал , в свою очередь представляют в виде , т.е. в виде функции, зависящей от q.

Затем для получения основной системы разрешающих уравнений минимизируютЭ(q) по всем элементам вектора всей области. Получают:

Где – квадратная матрица размером rr . Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды

Вектор – имеет размер r и характеризует внешнее воздействие на e -ый элемент.

Далее, как уже говорилось, располагая матрицей , матрицей жесткости конечного элемента и вектором (e=1,2,3,...,M) и переходя к общей системе координат строят матрицу (матрицу жесткости всей системы) и вектор , которыми, соответственно, определяются свойства среды для всей области и внешнее воздействие на нее.

После этого записывают разрешающее уравнение МКЭ:

Решая которое, находят узловые неизвестные .

В задачах теории упругости и строительной механики напряженно-деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется вектором узловых параметров (перемещений) и усилиями , связанными между собой уравнением . Это уравнение имеет абсолютно прозрачный физический смысл: усилия равны жесткости, умноженной на перемещение, смысл, понятный уже в законе Гука (вспомните задачу о пружине, изучаемую в 9-ом классе).

Итак, пусть имеется произвольный объемный элемент (физическое тело), для которого уже выбран вектор узловых неизвестных и для компонентов перемещения u, v, w построены соответству­ющие интерполирующие полиномы:

Тогда суммарный вектор перемещений для е – го элемента будет:

где – прямоугольная матрица размером rxr, значения элементов которой зависят от положения рассматриваемой точки.

Используя далее зависимости Коши, связывающие деформации и перемещения, и закон Гука, можно получить выражения для компонентов деформации и напря­жения е-го элемента:

Здесь – матрица дифференциальных операторов, опре­деляемых содержанием зависимостей Коши; – матрица параметров, которыми характеризуются упругие свойства мате­риала тела в пределах объема рассматриваемого конечного эле­мента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с деформациями, подробно изучается в учебниках по основам теории упругости. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упругости позволяет учесть изотропию или анизотропию свойств материала.

При расчете конструкций методом конечных элементов в перемещениях за неизвестные принимаются перемещения узлов по границам элементов, на которые расчленена вся конструкция.

Полная потенциальная энергия всей конструкции может быть записана в следующем виде:

Где первый член выражает потенциальную энергию деформации, а последний – работу внешних сил. Здесь обозначено:

– вектор деформаций всех конечных элементов

– матрица упругости элементов

– вектор – столбец перемещений узлов

– вектор – столбец внешних сил

Деформацию элементов можно выразить через первое из выражений (6.28). С учетом (6.27) подставляя его в (6.40) получаем:

Для отыскания неизвестных воспользуемся принципом Лагранжа, согласно которому действительным перемещениям соответствует минимум энергии .

Для обеспечения этого минимума надо составить производные от по перемещениям и приравнять их нулю.

Учитывая, что компоненты перемещений есть запишем первое слагаемое в (6.41) как:

Представив матрицу в виде диагональной матрицы, запишем :

Или, перемножая, получаем выражение:

Производные от которого будут:

В матричной записи производной называются вектор – столбец производных по элементам:

Взяв производную от второго слагаемого в (6.41), получаем:

Или, обозначая, , предыдущее равенство запишем в виде:

Это и есть основное уравнение метода перемещений. Здесь - матрица жесткости, вычисляемая по формуле (6.42).

Построение матрицы жесткости КЭ вариационным методом (треугольный конечный элемент)

Реализацию вариационного подхода к формированию матрицы жесткости покажем на примере построения матрицы жесткости треугольного конечного элемента (пластины).

Для более глубокого понимания сути дальнейших математических операций кратко изложим основные положения плоской задачи теории упругости.

Плоская задача теории упругости

Отнесём твердое тело к прямоугольным осям координат x, y, z. Возьмём произвольную точку М тела, координаты которой до деформа­ции обозначим через x, y, z. После деформации эта точка займёт положение M₁ и её новые координаты обозначим че­рез x₁, y₁, z₁. Вектор MM₁ представляет перемещение точки М при деформации. Проекции вектора MM₁ на оси x, y, z обозначим соответственно через u, , w. Тогда имеем очевидные соотно­шения:

x₁ = x+ u, y₁ = y + , z₁ = z + w.

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие перемеще­ния твёрдого тела, при которых расстояния между частицами тела изменяются, причём составляющими этих переме­щений будут величины u, , w. Перемещения u, , w будут меняться при переходе от одной точки, тела к другой и являются функциями координат точки:

u = f₁(x,y,z), = f₂(x,y,z), w = f₃(x,y,z)

Если деформируемое тело при деформации не получает разрывов, то эти функции будут

непрерывными и можно предполагать непрерывность частных производных этих функций.

Плоскую деформацию ( параллельную данной плоскости, например, Оxy), мы имеем

если имеют место только перемещения, параллельные этой плоскости. Поэтому для плоской задачи теории упругости:

u = u (x, y ), = v (x, y ), w = 0

Для определении внутренних сил, действующих в твердом теле при деформации, используют так называемые условия равновесия, которые требуют отсутствия движения тела при приложении к нему системы сил. Упрощенная развернутая запись этих условий для плоской задачи теории упругости приводит к системе следующих двух уравнений, называемых уравнениями Ламе:

; здесь: ; E –модуль упругости,

; ; - модуль упругости сдвигу.

- коэффициент Пуассона. ( - буква греческого алфавита. Произносится как ню)

(объемная деформация); (оператор Лапласа).

Неизвестными в этих уравнениях являются перемещения u = u (x, y ), v = v (x, y ).

По найденным перемещениям из соотношений Коши (2) можно определить деформации :

;

Из формул обобщенного закона Гука для плоского деформированного состояния определяются напряжения

При расчете пластин на нагрузки, действующие в их плоскости, задача описывается разрешающими уравнениями плоской задачи теории упругости. В качестве неизвестных здесь выступают перемещения u = u (x, y) и v = v (x, y) точек тела. Зная u и v можно определить деформации , а по ним – напряжения и , после нахождения которых задача считается решённой.