Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 12

Лекция № 12

Метод конечных элементов

Содержание

Из истории метода 2

Основные этапы МКЭ 3

Сущность метода конечных элементов (математический подход) 6

Основные операции в алгоритме метода конечных элементов 7

Идеализация области  (разбиение на элементы) 8

Выбор основных неизвестных 9

Построение интерполирующего полинома 10

Интерполяция и аппроксимация 10

Интерполяционный многочлен 11

Форма Лагранжа: 11

Форма Ньютона: 12

Построение интерполирующего полинома 15

Одномерная область 18

Двумерная область. Прямоугольный элемент 25

Из истории метода

Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т.е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях.

Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.

Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности задач о течении жидкости в пористой среде.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию компьютерной техники.

Основные этапы МКЭ

Для лучшего понимания идеи МКЭ сначала покажем основные этапы его применения на примере расчета напряженно – деформированного состояния тела (решения задач механики сплошных сред), хотя это можно было бы сделать на примерах термодинамики, аэродинамики, электростатики и т.п.

З адача механики сплошных сред чаще всего состоит в отыскании функции перемещений точек тела, которая в последствие даёт возможность определить деформации и напряжения в окрестности этих точек.

Первый этап состоит в разделении тела на небольшие элементы простой формы, соприкасающиеся в точках, которые называются узлами. Разделение на элементы можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации элементов целиком определяется представлениями инженера о том, как лучше всего решить задачу. Элементы плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а элементы трехмерных тел - форму тетраэдров или гексаэдров. Те участки тела, для которых из физических соображений требуется получить более детальную информацию, разбиваются на большое число мелких элементов.

Если физические свойства тела изменяются в точке или вдоль линии, то можно изменять форму, размеры или ориентацию элементов на этом участке тела.

Следующий этап применения МКЭ состоит в выборе какой – либо схемы интерполяции, позволяющей выразить неизвестную функцию (которую мы отыскиваем) - в нашем случае – функцию перемещения - в любой точке внутри элемента через значения перемещений в узлах. Обычно функция перемещений задается каким-либо простым полиномом или готовым простейшим решением для данного конечного элемента. В пределах каждого элемента для интерполяции значений перемещения используются полиномы с коэффициентами, определяемыми в процессе решения.

Выбор выражений, аппроксимирующих перемещения,— один из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ. Всегда желательно, чтобы этот выбор приводил к удовлетворению уравнениям равновесия и уравнениям совместности деформаций внутри объема каждого из конечных элементов и по линиям (граням) их стыковки.

Ограниченность числа степеней свободы для конечного элемента не позволяет удовлетворить всем этим условиям, а следовательно, и получить точное решение задачи.

На следующем этапе выписываются зависимости между перемещениями в узлах и деформациями конечных элементов, между деформациями КЭ и напряжениями в КЭ. Зная соотношения между перемещениями, деформациями и напряжениями в каждом конечным элементе, можно построить такие же соотношения для системы в целом. При этом перемещения и деформации соприкасающихся элементов в точках и по линиям соприкосновения должны быть равны, а силы, действующие в узлах, должны составлять в сумме внешнюю силу, приложенную в той же точке. В результате получается система линейных уравнений вида:

где – известная матрица жесткости системы,

– вектор перемещений системы,

– вектор нагрузки.

Подчеркнем, что этой системой можно пользоваться лишь при условии, когда принятые выраже­ния для компонентов перемещения удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов. Получаемая при этом матрица жесткости называется совместной.

К сожалению, часто об этом забывают, что приводит к получению так называемых несовместных матриц жесткости. Применение таких матриц жесткости в практических расчетах таит в себе большую опасность, поскольку, наряду с удовлетворительным результатом для одной задачи, возможно получение ошибочного решения для другой задачи.

Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства системы составленной из конечных элементов.

Полученная система уравнений содержит много нулевых элементов, так как не каждый узел принадлежит каждому элементу. В случае произвольной деформации каждый из m узлов может иметь n перемещений (например, по x и y в плоском случае; по х, y и z - в объёмном). Поэтому матрица жесткости будет иметь размерность , а векторы деформации и силы – размерность .

Некоторые значения перемещений определяются граничными условиями. Известные значения перемещений можно исключить из системы уравнений и тем самым понизить ее порядок. Можно поступить иначе, приняв один из диагональных элементов матрицы жесткости, равный какой-либо большой величине, намного превышающей значения других элементов, этот прием имеет важное преимущество, позволяя сохранить исходную форму системы уравнений, и часто используется при формировании пакетов программ, разработанных на основе МКЭ.

Поскольку получается разреженная система уравнений, для ее решения удобно пользоваться методом последовательной верхней релаксации (Еще более прогрессивный способ - упаковка разреженной матрицы. Последние методы будут рассмотрены в дальнейшем). В результате получают значения перемещений для всех узлов. Получив распределение перемещений, можно с помощью обычных уравнений теории упругости найти распределение напряжений и деформаций. Из сказанного следует, что матричные методы позволяют лучше организовать подготовку программы и решение задачи. Универсальность МКЭ позволила разработать на его основе программы для ЭВМ, позволяющие решать самые разнообразные задачи.

Сущность метода конечных элементов (математический подход)

Вводные замечания

Пусть поведение искомой функции u (x ,y, z) внутри заданной ограниченной области Ω с границей Ω описывается некоторым дифференциальным уравнением 2m – го порядка:

(6.1)

Где – внешнее воздействие, – параметр, обобщенно характеризующий свойства сплошной среды в объеме Ω (омега).

Уравнение (6.1) дополняется совокупностью m – краевых условий на поверхности, ограничивающей область :

1. Главных, куда входят производные от искомой функции по координатам не выше (m – 1) – го порядка

(6.2)

1. Естественных, уравнения которых содержат хотя бы один член с производной порядка

(6.3)

В частности, в строительной механике главные краевые условия называют кинематическими, а естественные – силовыми граничными условиями.

Основные операции в алгоритме метода конечных элементов

При использовании МКЭ для решения краевой задачи, описы­ваемой уравнениями (6.1), (6.2) и (6.3), отыскание самой неизве­стной функции и (х, у, z) заменяется нахождением ее значений в конечном числе так называемых узловых точек области . Тем самым определяется дискретная модель искомой функции. Сама же непрерывная искомая функция описывается прибли­женно через параметры дискретной модели. В качестве таких параметров выбираются значения функции, а иногда дополнитель­но и значения ее производных в узловых точках по координатам.

По узловым точкам строится сетка дискретизации области определения функции как совокупности конечного числа непере­секающихся подобластей, связанных между собою лишь в узловых точках.

В каждой такой подобласти искомая функция локально аппроксимируется непрерывными функциями.

Построенные при этом приближенные выражения должны однозначно определять значения искомой функции в любой точке подобласти через ее узловые параметры, а также удовлетворять критериям, гарантирующим сходимость последовательности при­ближенных решений к точному при уменьшении размеров под­области.

Локальная аппроксимация функции на подобластях позволяет рассматривать последние независимо друг от друга (независимо от поведения в других подобластях и от того, какое место займет рассматриваемая подобласть в исходной области ).

В МКЭ подобласти, на которые расщепляется область измене­ния искомой функции, имеют простую геометрическую форму и достаточно малые размеры (для обеспечения требуемого при­ближения решения конечно-элементной модели к точному реше­нию). Такую подобласть с построенной аппроксимацией искомой функции через ее узловые параметры будем называть конечным элементом.

Далее с использованием построенных выше выражений, аппро­ксимирующих искомую функцию в каждой из подобластей об­ласти, получаем си­стему разрешающих уравнений для определения неизвестных узло­вых параметров дискретной модели искомой непрерывной функции.

Ранее мы перечисли основные операции в алгоритме МКЭ. Рассмотрим их подробнее.

Идеализация области  (разбиение на элементы)

В области  фиксируется некоторое конечное число узловых точек. На множество узловых точек наносится сетка разбиения области на конечное число подобластей (элементов). Их сборка образует модель всей области.

Выбор размеров, формы и числа узловых точек для конечных элементов зависит от характера рассматриваемой задачи, вида исходной области, градиента самой искомой функции и других факторов, которые, в конечном счете, определяют точность решения задачи. Например, при решении плоских задач (плоское напряженное состояние, обтекание тел потоком жидкости, задача теплопроводности в пластине и т.д.) область представляется совокупностью треугольных, четырехугольных или их комбинацией плоских элементов. Если рассматривается трехмерная область, то она обычно идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников.