Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 10

Лекция № 10

Исследование с помощью численных методов

Продолжение

Содержание

Методы решения краевых задач 2

Конечно-разностные методы 3

Обзор методов решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных 5

Граничные методы 8

Внутренние методы 9

Метод подобластей 11

Метод коллокаций 11

Метод наименьших квадратов 12

Методы Галеркина 13

Методы решения краевых задач

Как отмечалось выше, задача, заключающаяся в решении обыкновенного дифференциального уравнения при дополнитель­ных условиях, поставленных при нескольких значениях незави­симой переменной, называется краевой.

Для простоты изложение будем вести на примере обыкновен­ного дифференциального уравнения второго порядка при граничных условиях y(a)=A, y(b)=B.

Уравнения более высоких порядков можно решать теми же ме­тодами, которые разобьем на следующие группы:

1. Методы, основанные на замене решения краевой задачи решением нескольких задач Коши (методы «стрельбы»)

Если обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка является линейным, т. е. имеет вид при дополнительных условиях y(a)=A, y(b)=B, то краевую задачу можно свести к задаче Коши с помощью начальных условий и получить второе решение . Если , причем , то решение

Удовлетворяет обоим начальным граничным условиям.

Если решается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, то решение краевой задачи можно свести к решению нескольких задач Коши, последовательно вводя в начальные условия значения и стремясь найти решение, удовлетворяющее условию y(b)=B. При этом большую помощь может оказать интерполяция, позволя­ющая построить упорядоченную последовательность а и свести к минимуму объем вычислений. К сожалению, этот метод мало­эффективен, и его нельзя рекомендовать для замены более совершенных методов.

1. Методы, в которых используется конечно-разностная форма дифференциального уравнения.

Конечно-разностные методы

Достоинство конечно-разностных методов в том, что они поз­воляют свести решение краевой задачи к решению системы ал­гебраических уравнений. При решении двухточечной краевой задачи при интервал можно разделить на n равных частей:

Где . В точках , называемых узлами, стремятся получить значение решения . Зная координаты узлов и пользуясь конечно – разностными выражениями для производных:

Можно представить дифференциальное уравнение в виде разност­ного уравнения. Отметим, что существуют различные фор­мы конечно-разностных выражений для производных. Если записать это разностное уравнение для при двух краевых условиях, то задача сводится к решению системы n — 1 алгебраических уравнений с п—1 неизвестными . Если исходное дифференциальное уравнение линейное, то за­дача будет состоять в решении системы линейных алгебраических уравнений. Если же исходное дифференциальное уравнение не­линейное, задача сводится к решению системы нелинейных ал­гебраических или трансцендентных уравнений. Хотя методы ре­шения таких линейных и нелинейных уравнений известны, при­вести решение краевой задачи методом конечных разностей к виду, требуемому стандартной программой, нелегко, так как формулировка каждой задачи зависит от вида рассматриваемого дифференциального уравнения.

1. Методы прогонки.

2. Вариационные методы (Ритца, Галеркина).

3. другие

Выбор алгоритма решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сформулировать общие правила выбора наилучшего метода того или иного обыкновенного дифференциального уравнения невозможно. Однако можно рекомендовать руководствоваться при этом следующими соображениями.

1. Рассмотрение типа задачи. Если это задача Коши, то можно воспользоваться одной из готовых подпрограмм, позволяющих получить решение. Если же это краевая задача, то возможно, придется составлять собственную программу.

2. Оценка степени сложности дифференциального уравнения.

Если задача Коши очень сложна, и вычисление f(X,Y) связано с большими трудностями, то обычно отдают предпочтение одному из методов прогноза и коррекции, так как они требуют вычисления лишь двух значений f(X,Y) на шаге вместо четырех, как в методах Рунге-Кутта.

1. Оценка времени, требуемого для решения задачи.

Если в первую очередь приходится учитывать стоимость машинного времени, то лучшим будет метод прогноза и коррекции. Если же определяющим является время подготовки задачи к счету, то следует воспользоваться методом Рунге-Кутта.

1. Оценка требуемой точности.

Вообще говоря, чем выше порядок точности метода, тем более точным будет полученный результат. Это утверждение справедливо лишь до некоторой степени, так как конечно-разностные аналоги производных по мере повышения порядка аппроксимации ведут себя все хуже и хуже. Поэтому погрешность метода при переходе от 5-го порядка к более высоким порядкам точности (что к тому же связано и с дополнительными громоздкими вычислениями) практически не убывает. Поскольку обычно достигается некоторый компромисс между объектом и точностью вычислений, то следует уделять внимание как выбору порядка точности метода, так и выбору величины шага. Поэтому большое распространение получили алгоритмы, в которых автоматически изменяется шаг интегрирования или порядок применяемого метода.

1. Учет имеющегося опыта. Предшествующие успехи или неудачи в применении того или иного метода для решения конкретной задачи могут представить ценный материал для суждения о целесообразности выбора подходящего алгоритма.

Для решения краевых задач наиболее простыми и универсальными являются конечно-разностные методы, заслуженно получившие широкое распространение в практике автоматизированного проектирования. На основе этих методов разработаны достаточно гибкие и универсальные программы широкого назначения. Особенностью конечно-разностных методов является также их приспособленность к решению уравнений в частных производных. Поэтому на конечно-разностных методах необходимо остановиться более подробно, что будет сделано в дальнейшем в разделе, посвящённому методам решения задач математической физики, описываемых уравнениями в частных производных.

Обзор методов решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от их математической природы - эллиптические, параболические и т.п. - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое уравнение и т.п. Приведем классификацию наиболее часто встречающихся простейших уравнений в частных производных и области их использования.

Уравнения	Математическая форма	Примеры задач, в которых встречается уравнение
Лапласа	 f = 0	Установившееся течение жидкости. Стационарные тепловые поля.
Пуассона	 f = - k	Теплопередача с внутренними источниками тепла.
Диффузии		Нестационарная теплопроводность.
Волновое		Распространение звуковых волн.
Бигармоническое		Деформация пластин.
Здесь:

В настоящее время можно выделить три основных подхода к решению задач математической физики. Прежде всего, это широкий спектр математических методов, известных под названием взвешенных невязок (рисунок ниже).

К другому классу относят различные сеточные или конечно-разностные методы, получившие широкое распространение вследствие простоты и наглядности формулировки и, наконец, интенсивно развивающиеся в последнее время вероятностные методы.

Широкому распространению некоторых модификаций этих методов способствовало, прежде всего, появление ЭВМ, а также достаточно степень алгоритмизации, разрешаемая структурой этих методов.

Методы взвешенных невязок описываются следующим образом.

Пусть дифференциальное уравнение (система уравнений)

L(U)=0 (5.3.1)

должно быть разрешено при начальных условиях I(U) = 0 и граничных условиях S(U) = 0 . Рассматривается приближенное решение U_a такое, что

L(U_a)=R; I(U_a)=R_i ; S(U_a)=R_B (5.3.2)

При построении приближенного решения идут по одному из следующих путей:

1. Дифференциальное уравнение удовлетворяется точно, т.е. R=0. В этом случае используют так называемый граничный метод.

2. Граничные условия выполняются точно, т.е. R_B =0. Такой метод называют внутренним методом.

3. Ни дифференциальное уравнение, ни граничные условия не удовлетворяются точно. Это соответствует смешанному методу.

Граничные методы

Наилучшим примером граничных методов является панельный метод.