LEC-22 (Материалы к лекциям)

12

Лекция № 22

9.2.2 Основные алгоритмы и методы формирования сетки конечных элементов

Многочисленные методы построения разбиений для дву- и трехмерных областей с геометрической точки зрения подразделяются на три основных класса :

1 - построение разбиения, осуществляемого преобразованием отображения разбиения области с геометрически простой формой;

2 - построение разбиения, осуществляемое преобразованием уже существующего разбиения;

3 - прямое, элемент за элементом, построение разбиения, начиная с задания распределения точек в области или на ее границе.

Из-за ряда ограничений разделить область на элементы, пользуясь только каким-то одним способом, можно только в исключительных случаях, поскольку метод построения разбиения должен:

а) давать возможность обрабатывать сложные геометрические конфигурации;

б) минимизировать выполняемую работу и ограничивать максимальное число требуемых данных;

в) обеспечивать надежность результатов;

г) наилучшим образом использовать возможности применяемых алгоритмов, которые в разной степени приспособлены к рассматриваемым геометрическим условиям ;

д) давать результат, пригодный для дальнейшего использования и содержащий всю необходимую информацию в форме, обеспечивающей быстрый и удобный доступ к ней.

Для построения разбиения чаще всего применяются следующие методы ( Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. и др. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 2. - М.: Мир, 1989. 264 с) :

- построение разбиения “вручную” с представлением всей необходимой информации в виде структуры данных;

- построение покрытия области делением нескольких крупных элементов на более мелкие;

- построение покрытия области элементами, начиная с задания распределения точек на ее границе;

- построение покрытия области на основе облака точек, распределенных внутри области;

- построение разбиения с помощью геометрического (симметрия,

локальное или глобальное деление, т.д.) и/или топологического преобразования уже существующего разбиения;

- построение трехмерного разбиения с помощью такой обработки

двухмерного разбиения, которое позволяет получать трехмерные элементы из двухмерных.

Качество получаемого разбиения оценивается визуально или определением площадей элементов (площадь вычисляется как векторное произведение): если хотя бы одна из площадей отрицательна, то разбиение выполнено неправильно. Визуальный осмотр полезен и в тех случаях, когда отрицательных площадей нет.

В большинстве случаев с помощью тел, называемых аналитическими, нельзя описать реальные механические объекты. На протяжении долгого времени выход из этого положения состоял в представлении объекта с помощью произвольно проведенных линий, взаимное сопряжение которых осуществлялось специалистами очень высокой квалификации: модельщиками, литейщиками, изготовителями штампов. Для классификации подобных зависимостей трудно было подобрать подходящие определения. Использовались такие выражения, как поверхности двойной кривизны, поверхности переменной кривизны, искривленные поверхности.

На самом деле единственным общим свойством всех этих зависимостей является полное отсутствие какого бы то ни было предварительного математического определения, даже частичного, в результате чего решение задачи начиналось с выполнения последовательных шагов аппроксимации и заканчивалось вручную, каждый шаг подгонки основывался на результатах экспериментов или просто на указаниях дизайнера. Из-за недостатка информации такие зависимости иногда назывались “ экспериментальными ”.

Для обработки информации на ЭВМ должна быть сформирована математическая модель поверхности изделия. Это сравнительно нетрудно сделать, когда сложная поверхность может быть разбита на элементы, каждый из которых представляет конус, сферу или участок плоскости, ограниченный отрезками прямых или дугами конических сечений. В тех случаях, когда поверхности не образуются простейшими элементами, как, например, в авиастроении, приходится искать иное решение.

9.2.2.1 Метод изопараметрических координат

Разработан Эдгебергом, Зенкевичем и Филлипсом. В 1969 г. впервые были разработаны универсальные программы - генераторы СКЭ, В настоящее время продолжаются исследования по усовершенствованию методов изопараметрическох координат и их программной реализации.

Методы изопараметрических координат предполагает представление расчетной области в виде совокупностей подобластей, каждой из которых ставится в соответствие изопараметрический квадратичный элемент. Таким образом, локальные координаты  и  преобразуются в глобальные x и y.

В
изопараметрической системе координат применяется неравномерное разбиение по  и (или)  . Это дает возможность производить сгущение узлов сетки в заданной части исходной области.

Заметим, что слишком большие смещения промежуточных узлов могут привести к выталкиванию таких узлов за пределы границы области. В литературе дана оценка допустимых положений промежуточных узлов.

где B - расстояние от промежуточного узла до углового;

l - длина стороны подобласти;

n - число разбиений по данной локальной координате.

В случае, когда исходная область представляется объединением подобластей, необходимо осуществлять согласование узлов подобластей на сопрягаемых границах, где распределение узлов должно быть одинаково.

Существует несколько методов сшивания подобластей.

Полный текст программ сеточных генераторов на основе метода изопараметрических координат описан, например, в книге: Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов М. Мир, 1979.

В некоторых программных реализациях алгоритмов построения СКЭ на основе схемы изопараметрических координат прямая и обратная трансформации области не предусмотрены. При этом для разбиения области используются задаваемые шаблоны.

Имеются программы, позволяющие осуществить различное число разбиений на двух противоположных сторонах расчетной области. В этом случае в пределах одного слоя КЭ допускается уменьшение (увеличение) числа узлов на противоположных сторонах.

Отдельные алгоритмы содержат возможность распределения узлов по локальным координатам. Например, координаты узлов СКЭ определяются формулой:

(x,y)=f₁ (S)g ₁(t)(x₁ ,y₁ )+f₁ (S)g₂ (t)(x₂ ,y₂ )+

+ f₂ (S)g₂ (t)(x₃ ,y₃ )+f₂ (S)g₁ (t)(x₄ ,y₄ ) ,

где S= - 1+2 ( i-1)(n_r - 1); f= - 1 +2 ( j -1)/(n_c-1)

i - номер строки шаблона СКЭ; n_r - общее число строк шаблона;

j - номер столбца шаблона СКЭ; n_c - общее число столбцов шаблона;

(x₁ , y₁ ), (x₂ , y₂ ), (x₃ , y₃ ), (x₄ , y₄ )- координаты узловых точек исходной четырехугольной подобласти (нумерация ведется от нижнего левого узла против часовой стрелки):

f₁ , f₂ и g₁ , g₂ - функции распределения узлов СКЭ по строкам и столбцам.

Наиболее часто используемые распределения узлов СКЭ приведены в таблице.

Далее представлена сетка, сгенерированная программой на основе топологического шаблона и принятого квадратичного распределения узлов сетки по координатам  и  .

9
.2.2.2 Методы натуральных координат

При использовании методов натуральных координат применяют топологическую аналогию исходной области D и подобласти D^* (шаблона) с заранее заданной сеткой.

Методы изопараметрических координат и натуральных координат ввиду их большой общности объединены в класс i-j алгоритмов генерации СКЭ. Узлы шаблона СКЭ отождествляются с узлами натуральной координатной системы

Каждой прямой в области D* предполагается соответствие прямой в области D. Задаваясь постоянством длин отрезков прямых для шаблона и подобласти

получаем соответствие точек P^/ и P*. В действительности прямая в области D* не преобразуется при переходе к D. Поэтому в качестве аналога P* применяется центр тяжести семейства P.

Для получения полного набора точек, определяющих натуральную систему координат (т.е. систему КЭ), необходимо провести трансформацию всех узлов сетчатого шаблона из D* в D.

Треугольную сетку получаем из четырехугольной соединением противоположных вершин криволинейных четырехугольных КЭ.

В качестве сеточных шаблонов для исходной области выбираем другие фигуры, например эллипс, треугольник.

Построение СКЭ возможно также для невыпуклых и многосвязных областей. В этих случаях невыпуклая область разбивается на ряд близких к выпуклым подобластей, для каждой из которых строится система натуральных координат. Методы натуральных координат позволяют строить топологически регулярные сетки с медленно изменяющимися размерами КЭ.

Управление плотностью узлов сетки возможно за счет изменения начального разбиения периметра области на участки, а также разбиения исходной области на подобласти. Не смотря на невысокую эффективность метод натуральных координат широко применяется для автоматизации расчетов напряженно-деформированного состояния элементов ракетных двигателей.

9.2.2.3 Методы натягивания регулярной сетки.

Предложены Х.А. Камелем и Г.К. Эйзенштейном. Э
ти методы предполагают аппроксимацию исходной области совокупностью выпуклых односвязных подобластей. Для построения сетки предварительно выполняется разбиение границ подобластей

З
атем для каждой подобласти (по принципу раскручивающейся спирали) строится регулярная треугольная сетка (сеточный шаблон) с числом граничных узлов, равным числу граничных узлов подобласти.

В подобласти вписываются принадлежащие им окружности.

Cетчатые шаблоны трансформируются в окружности. После этого граничные узлы шаблона совмещаются с соответствующими граничными узлами подобластей.

Далее натянутая сетка подвергается регуляризации, в результате чего она становится более однородной.

Опыт показывает, что сетки, построенные способом натягивания, регулярны только для выпуклых подобластей, близких к окружностям.

При использовании этого метода необходимо соблюдение такого ограничения, как предварительное разбиение исходной области на выпуклые подобласти, которые затем аппроксимируются выпуклыми многоугольниками. Это трудоемкий и сложноалгоритмизируемый процесс для областей произвольной формы, поэтому на практике предварительное разбиение исходной области чаще всего осуществляется вручную.

9.2.2.4 Методы предварительного нанесения узлов сетки

Впервые данный алгоритм был предложен И.Сухарой и Ф. Фукудой и впоследствии модифицирован и развит Д. Кавендишем.

Сущность метода заключается в раздельных операциях генерации узлов сетки и формирования совокупности конечных элементов. Основными этапами работы алгоритма являются:

1. Разбиение области дискретизации на ряд подобластей с целью нанесения узловых точек в соответствии с заданными законами распределения последних для каждой подобласти и границы всей области.

2. Генерация узловых точек на границах области и выделенных подобластях.