Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дзета-функция Римана ζ(s) определена с помощью ряда Дирихле:

.

В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

,

где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

, где B_2m — число Бернулли.

В частности, , .

Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно рациональное.

• При

где μ(n) — функция Мёбиуса

где τ(n) — число делителей числа n

где ν(n) — число простых делителей числа n

• ζ(s) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную s-плоскость и является регулярной функцией для всех значений s, кроме s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.

  • Аналитически продолженная дзета-функция при удовлетворяет уравнению:

,

где Γ(z) — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение назывется функциональным уравнением Римана.

• Для функции

введенной Риманом для исследования ζ(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

ξ(s) = ξ(1 − s)

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнениения Римана, в полуплоскости , функция ζ(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее при вещественных . Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая назывется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой 1 / 2 + it.

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1876) где дзета-функция рассматривать как функция комплексной переменной.

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзеты-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция ζ(s) определена для всех комплексных , и имеет нули для отрицательных целых . Из функционального уравнения , и явного выражения при следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» . Гипотеза Римана утверждает что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 10¹³ первых решений. [1]

Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

В 1896 г. Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .

В 1900 г. Давид Гильберт включил гипотезу римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1901 г. Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

при

Вообще, многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

В 1914 г. Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литтлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 г. показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Aдамара.

Гипотеза Римана является одной из семи «проблем тысячелетия» , за её доказательство Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причём не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом). http://www.claymath.org/millennium/

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое на сегодняшний день не опровергнуто: [2]

Riemann zeta function

From Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

In mathematics, the Riemann zeta function, named after Bernhard Riemann, is a function of significant importance in number theory, because of its relation to the distribution of prime numbers. It also has applications in other areas such as physics, probability theory, and applied statistics.

Definition

Riemann zeta function for real s > 1

The Riemann zeta-function ζ(s) is defined for any complex number s with real part > 1 by the Dirichlet series:

In the region {s ∈ C: Re(s) > 1}, this infinite series converges and defines a function that is analytic in this region. Bernhard Riemann realized that the zeta-function can be extended by analytic continuation in a unique way to a meromorphic function ζ(s) defined for all complex numbers s with s ≠ 1. It is this function that is the object of the Riemann hypothesis.

Relationship to prime numbers

The connection between this function and prime numbers was already realized by Leonhard Euler, who discovered

an infinite product extending over all prime numbers p. This Euler product formula converges for Re(s) > 1. It is a consequence of two simple and fundamental results in mathematics; the formula for the geometric series and the fundamental theorem of arithmetic. Euler's formula for ζ(s) is proved here.

Various properties

For the Riemann zeta function on the critical line, see Z-function. For sums involving the zeta-function at integer values, see rational zeta series.

Specific values

Main article: Zeta constant

The following are the most commonly used values of the zeta function.

; this is the harmonic series.

; the demonstration of this equality is known as the Basel problem.

; this is called Apéry's constant

Zeros of the Riemann zeta function

The Riemann zeta function has zeros at the negative even integers (see the functional equation). These are called the trivial zeros. It is known that any non-trivial zero lies in the open strip {s ∈ C: 0 < Re(s) < 1}, which is called the critical strip. The Riemann hypothesis asserts that any non-trivial zero s has Re(s) = 1/2. In the theory of the Riemann zeta function, the set {s ∈ C: Re(s) = 1/2} is called the critical line.

The location of the Riemann zeta function's zeros is of great importance in the theory of numbers. From the fact that at all non-trivial zeros lie in the critical strip one can deduce the prime number theorem. A better result^[1] is that ζ(σ+it) ≠ 0 whenever |t| ≥ 3 and

The strongest result of this kind one can hope for is the truth of the Riemann hypothesis, which would have many profound consequences in the theory of numbers.

It is known that there are infinitely many zeros on the critical line. Littlewood showed that if the sequence (γ_n) contains the imaginary parts of all zeros in the upper half-plane in ascending order, then

The critical line theorem asserts that a positive percentage of the nontrivial zeros lies on the critical line.

In the critical strip, the zero with smallest non-negative imaginary part is 1/2+i14.13472514... Directly from the functional equation one sees that the non-trivial zeros are symmetric about the axis Re(s) = 1/2. Furthermore, the fact that ζ(s)=ζ(s*)* for all complex s ≠ 1 (* indicating complex conjugation) implies that the zeros of the Riemann zeta function are symmetric about the real axis.

The functional equation

The zeta-function satisfies the following functional equation:

valid for all s in C\{0,1}. Here, Γ denotes the gamma function. This formula is used to construct the analytic continuation in the first place. At s = 1, the zeta-function has a simple pole with residue 1. The equation also shows that the zeta function has trivial zeros at − 2, − 4,....

There is also a symmetric version of the functional equation, given by first defining

The functional equation is then given by

The reciprocal

The reciprocal of the zeta function may be expressed as a Dirichlet series over the Möbius function μ(n):