5CAD-CAE-05-06 Проектир-ие и констр-е (Метариалы к лекциям), страница 6

Цель многих исследований по оптимальному проектированию состоит в том, чтобы выявить наиболее эффективный из способов оптимизации. Обычно при оптимальном проектировании конструкций имеется широкий выбор переменных проектирования, варьированием которых можно влиять на величину критерия качества. Например, уменьшение веса конструкции может быть достигнуто в результате распределения толщины элементов конструкции, управления анизотропией материалов, армирования, создания предварительного напряженного состояния и т.д.

Переменные проектирования или проектные параметры· - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, времени, температуры, а также соотношения, например, отношение длины к радиусу и т.п. Число проектных параметров характеризует степень сложности задачи проектирования.

Важно знать, какие способы оптимизации или их комбинации приводят к большему выигрышу по функционалу.

Пространство проектирования - область, определяемая всеми возможными значениями параметров проектирования. Пространство проектирования ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения.

Ограничения делятся на две группы - ограничения-равенства и ограничения-неравенства.

Ограничения-равенства - зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Если какое-либо из таких соотношений можно разрешить относительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации.

Ограничения-неравенства - указывают некоторые зависимости между проектными параметрами, но только в виде неравенств. Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями такого типа оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхности имеют нулевой градиент.

Локальный оптимум - точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. Обычно пространство проектирования содержит много локальных оптимумов. Следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектных параметров. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор.

Понятие многокритериальной оптимизации

В вариационном исчислении и теории оптимального управления, рассматриваемые задачи обычно заключаются в минимизации некоторого скалярного функционала при удовлетворении ряда ограничений. Задача одновременной оптимизации нескольких функционалов или одного вектор-функционала в рамках традиционного определения оптимальности оказывается в общем случае некорректной задачей. Постановка корректных задач оптимизации векторных функционалов, называемых многокритериальными задачами, становится возможной только при расширении классического определения экстремума. Естественным обобщением и расширением этого понятия является концепция Парето-оптимальных решений. Применение теории оптимальности по Парето позволяет, в частности расширить круг проблем, рассматриваемых в теории оптимального проектирования, и исследовать принципиальные вопросы проектирования конструкций оптимальных в смысле нескольких критериев качества. На основе многокритериальной теории достигается понимание некоторых закономерностей в формировании “естественных” конструкций. (Если переменная проектирования является Парето-оптимальной, то невозможно дальнейшее уменьшение никакого из критериев без одновременного увеличения, по крайней мере, одного из оставшихся.) Для задач многокритериальной оптимизации характерным является существование не единственного решения, а целого множества оптимальных в указанном смысле решений, так называемого множества Парето. Построение множества Парето дает важную информацию о возможностях совершенствования конструкции. Для нахождения единственного решения может быть применена многоуровневая оптимизация (при двухуровневой оптимизации с помощью дополнительного скалярного критерия на множестве Парето находится единственное оптимальное решение).

Методы условной оптимизации

При постановке задачи оптимального проектирования конструкций подразумевается наличие некоторых ограничений на проектные параметры, а также ограничения, например, по прочности и т.д., то есть при решении задачи следует использовать методы условной многомерной оптимизации [4]. Интересно, что импульсом к их разработке послужила ставшая классической работы Л.А. Шмита, опубликованная в 1960 году, в которой он применил методы нелинейного программирования для оптимального проектирования трехстержневой фермы. Методов условной многомерной оптимизации существует достаточно много [5] и за последние годы можно наблюдать появление всё новых и новых методов оптимизации конструкций, основанных на теории математического программирования и называемых численными методами оптимизации.

Различие между методами многомерного и одномерного поиска [2] принципиальное. Прежде всего, многомерное пространство качественно отличается от одномерного, так как с увеличением числа измерений увеличивается вероятность многоэкстремальности целевой функции. Объем вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства. Так, если для сужения интервала неопределенности в 10 раз в одномерном случае понадобится вычислить значение целевой функции примерно 20 раз, то в случае двумерного пространства это число составляет порядка 400, трехмерного – 7000, четырехмерного – 130000, а пятимерного – 2 500 000 [6]. Поскольку при поиске оптимальной конструкции приходится иметь дело со значительно большим количеством варьируемых параметров, серьезность трудностей, обусловленных многомерностью, становится очевидной.

Существующие методы многомерной условной оптимизации можно разделить на три группы.

1. Прямые методы (так называемые методы нулевого порядка), в которых используются только значения функции. К этой группе относятся, например, методы локальных вариаций, Хука-Дживса, Розенброка, симплекс-метод.

2. Методы первого порядка, в которых используются первые производные от целевой функции для выбора наиболее оптимального направления изменения параметров. К ним относятся, например, градиентные методы.

3. Методы, в которых с той же целью используются вторые производные. Представителем этой группы методов является, например, метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла.

Среди них обращают на себя внимание методы прямого поиска, в которых ограничения учитываются в явном виде.

Необходимость разработки этих методов связана с тем, что в инженерных приложениях часто приходится сталкиваться со случаями, когда целевые функции не заданы в явном виде. Эти методы строятся на интуитивных соображениях, не подкреплены строгой теорией и, следовательно, не гарантируется их сходимость. Несмотря на это, в силу своей логической простоты эти методы легко реализуются.  Перед непосредственным применением методов прямого поиска необходимо исключить ограничения в виде равенств и определить начальную допустимую точку. Простейший способ исключения ограничений в виде равенств заключается в решении его относительно одной из переменных с последующим исключением этой переменной путем подстановки полученного выражения в соотношения, описывающие задачу. При этом следует учитывать, что границы значений исключаемых переменных сохраняются в задаче в виде ограничений - неравенств. Несмотря на то, что подстановка является самым простым способом исключения ограничений - равенств, не всегда оказывается возможным ее осуществить. В этом случае проблема решается путем численного решения уравнения относительно зависимых переменных при заданных значениях независимых оптимизирующих переменных.

После проведения процедуры подготовки задачи к решению следует применить один из методов условной оптимизации, например, метод Хука-Дживса, метод штрафных функций, метод возможных направлений, метод линеаризации, релаксационный метод и т.п.

Для понимания организации вычислений в методах многомерной оптимизации приведем в конспективном изложении некоторые примеры.

Модифицированный метод Хука – Дживса

Данный метод относится к методам решения задач нелинейного программирования, в которых используются только значения функций. Для задач без ограничений метод Хука-Дживса состоит в следующем:

Выбирается начальная базисная точка b₁ и шаг длиной h₁, для каждой переменной x_j.

Вычисляется f(b₁) в базисной точке с целью узнать о локальном поведении функции.

Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага и вычисляется f(b₁+h₁e₁), где e₁ — единичный вектор в направлении оси x₁. Если это приводит к уменьшению функции, то b₁ заменяется на b₁+h₁e₁. В противном случае вычисляется значение функции f(b₁-h₁e₁), и если ее значение уменьшилось, то b₁ заменяется на b₁-h₁e₁. Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то рассматриваются изменения в направлении оси x₂.

Когда будут рассмотрены все n переменных, будет получена новая базисная точка b₂. Если новая и старая базисная точки тождественны, то повторяются исследования вокруг старой точки, но с меньшей длиной шага. Если новая точка не совпадает со старой, то производится новый поиск, учитывая, что разумно двигаться из базисной точки b₂ в направлении b₂-b₁, поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению функции. Поэтому вычисляется функция в точке образца P₁=b₁+2(b₂-b₁), (в общем случае P_i=b_i+2(b_i+1-b_i)) и производятся дальнейшие исследования вокруг этой точки. Если наименьшее значение меньше, чем полученное в базисной точке b₂, то получают новую базисную точку и новую точку P_i, в противном случае поиск по образцу из точки b₂ не производится, а продолжается исследование в точке b₂.

Процесс завершается, когда длины шагов будут уменьшены до некоторого малого значения.

Модификация для задач условной оптимизации заключается в следующем: целевой функции присваивается очень большое значение там, где ограничения нарушаются. Нужно проверить каждая ли точка, полученная в процессе поиска, принадлежит области ограничений. Если каждая, то целевая функция вычисляется обычным путем, если нет, то целевой функции присваивается очень большое значение.

Метод штрафной функции

Этот метод является одним из наиболее простых и широко используемых методов решения задач на условный минимум.

Основная идея метода штрафной функции состоит в преобразовании задачи отыскания условного минимума функции z=f(x)=f(х₁,…,x_n) с соответствующими ограничениями, наложенными на x, в задачу поиска минимума некоторой функции Z=f(x)+P(x) без ограничений.

Функция P(x) называется штрафной. Штрафная функция подбирается таким образом, чтобы она совпадала с заданной минимизируемой функцией внутри допустимой области, определяемой ограничениями, и быстро возрастала вне нее - “штрафовала”. Функция P(x), удовлетворяющая этому условию, может быть не единственной.

Таким образом, вместо задачи

рассматривается задача на безусловный минимум функции Z:

Где

Числа задаются автором решаемой задачи. Если коэффициенты принимают большие значения, то при минимизации функции Z увеличивается доля ограничений. Если малы, то в значительной степени ограничения игнорируются. В результате, поставленная задача сводится к задаче поиска безусловного минимума, для решения которой могут быть применены различные методы. Основной недостаток данного метода в том, что получить точное решение, применяя штрафную функцию, достаточно трудно.

Градиентный метод

Пусть имеется задача на условный экстремум вида: