5CAD-CAE-05-06 Проектир-ие и констр-е (Метариалы к лекциям), страница 3

Аналитические методы решения краевых задач сводятся к интегрированию исходной системы дифференциальных уравнений, которая составлена с учетом заданных граничных условий и внешних нагрузок, действующих на исследуемую конструкцию. При этом интегрирование дифференциальных уравнений связано со значительными трудностями вычислительного характера. Поэтому усилия многих исследователей были направлены на разработку приближенных методов решения. Широкое распространение получили вариационные методы. Результаты решения задач при использовании данных методов во многом зависит от того, насколько удачно выбраны координатные функции. Для достаточно точного решения задачи необходимо использовать значительное число координатных функций, в связи с чем, резко возрастает трудоемкость всех вычислительных операций.

Основной недостаток решений, полученных вариационными методами, заключается в том, что координатные функции выбираются для всей области. Описать достаточно точно такими функциями область с относительно сложными геометрическими, физическими и граничными условиями практически невозможно. Более широкий круг задач механики и теории упругости позволяют решать численные методы, из которых можно выделить две большие группы: разностные методы и метод конечных элементов.

Метод конечных разностей (МКР)

Для численного решения задач механики весьма подходящим оказался метод сеток или метод конечных разностей, который получил широкое развитие как наиболее подготовленный для реализации на ЭВМ. Методика расчета заключается в том, что приближенное решение краевой задачи основано на замене дифференциальных уравнений конечно-разностными уравнениями.

Метод конечных разностей (МКР) приводит к системе алгебраических уравнений, в которых неизвестными величинами являются значения искомой функции в узлах сетки.

Достоинство МКР в его простоте. Метод имеет следующие недостатки:

• неудобство исследования конструкций переменной толщины ввиду значительного усложнения дифференциальных уравнений

• значительные трудности в составлении конечно-разностных уравнений, если сетка нерегулярна и ее направления не совпадают с направлениями координатных линий

• весьма приближенный учет граничных условий

Известны различные рекомендации относительно того, в каких точках сеточной области следует удовлетворять дифференциальным уравнениям и каким образом аппроксимировать граничные условия. В ряде работ предлагается удовлетворять дифференциальные уравнения только во внутренних точках области с грубой или уточненной аппроксимацией граничных условий без использования законтурных точек.

Разнообразие указанных выше вычислительных схем связано со стремлением, во-первых, сократить число неизвестных путем ликвидации законтурных точек и, во-вторых, более точно удовлетворить граничные условия при использовании аппроксимации одного порядка, как внутри области интегрирования, так и на границе. В первом случае часто используются более грубые разностные формы для аппроксимации производных вблизи границы области по сравнению с формулами, которые применяются при замене дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями внутри ее. Недостаток такого подхода при решении краевых задач методом сеток заключается в том, что первоначально поставленная цель о снижении объема вычислений не достигается, так как для более точного решения задачи необходимо уменьшать шаг сетки и, следовательно, повышать порядок разрешающей системы уравнений. Во втором случае необходимо использовать в решении кинематические и естественные граничные условия, что нарушает стойкость алгоритма и делает его зависящим от конкретных граничных условий.

Хотя метод сеток получил широкое распространение и, с его помощью, было решено большое число задач, в ряде случаев, когда область имеет угловые зоны или смешанные краевые условия, МКР приводит к противоречиям, неопределенностям и к необходимости прибегать к искусственным и не всегда обоснованным приемам. Матрица коэффициентов системы уравнений не всегда оказывается симметричной, что усложняет задачу в вычислительном отношении.

Эти обстоятельства, а также желание автоматизировать вычислительный процесс побудило развить вариационный метод построения сеточных уравнений. С развитием вычислительной техники интерес к этому методу заметно усилился.

В вариационно-разностном методе разрешающие уравнения получают из условия стационарности исходного энергетического функционала, в котором производные предварительно заменяются разностными соотношениями, а интегрирование — суммированием по области. Применение принципа минимума полной потенциальной энергии позволяет провести процедуру приближенного решения краевой задачи, не требуя от задаваемых перемещений той степени гладкости, которая отвечает дифференциальным уравнениям. Это объясняется тем, что в функционал полной потенциальной энергии системы или в вариационное уравнение Лагранжа входят производные от перемещений не выше m-го порядка, в то время как в дифференциальные уравнения равновесия входят производные 2m-го порядка. Если еще учесть, что вариационно-разностный метод не требует явной формулировки естественных граничных условий, то становится ясным, почему он нашел широкое применение при решении задач механики.

Метод конечных элементов (МКЭ)

Для решения наиболее распространенных при проектировании задач – задач механики сплошных сред, по всей вероятности, наиболее мощным инструментом, имеющимся в настоящее время, является метод конечных элементов, в соответствии с которым объект разбивается на большое количество элементов конечных размеров (обычно стержней, прямоугольников или треугольников), образующих связную сеть узлов концентрации напряжений.

Используя затем богатые вычислительные возможности машин, можно проанализировать свойства целостного объекта в аспекте возникающих механических усилий, аэродинамических полей давления, процессов теплопереноса и других характеристик, исследуя поведение каждого отдельного элемента. Оценка поведения целостного объекта производится на основе определения взаимосвязанного поведения всех его узлов.

МКЭ в результате развития вычислительной техники составил мощную конкуренцию разностным методам. Он стал одним из самых распространенных методов решения задач механики твердого тела, что объясняется его достоинствами вычислительного характера, а также возможностью дать конкретный и ясный физический смысл всем подлежащим определению неизвестным (или некоторым их линейным комбинациям).

При построении конечно-элементных моделей используется все многообразие вариационных формулировок теории упругости. Наиболее распространенной является такая форма метода конечных элементов, в которой неизвестными являются обобщенные узловые перемещения, а разрешающая система уравнений получается путем использования принципа возможных перемещений.

Если же аппроксимировать усилия с таким расчетом, чтобы они заранее удовлетворяли дифференциальным уравнениям внутри каждого конечного элемента, то путем применения принципа возможных изменений напряженного состояния можно получить систему разрешающих уравнений относительно части усилий, принятых за лишние неизвестные.

Первый из этих подходов соответствует методу перемещений, а второй – методу сил. Возможен также подход, в котором неизвестными являются одновременно и перемещения, и усилия. Независимая аппроксимация этих групп неизвестных позволяет снизить порядок полиномов, используемых при аппроксимации перемещений, так как отпадает необходимость дифференцировании перемещений для вычисления усилий. Наиболее распространение нашел метод перемещений.

Реализация метода конечных элементов связана с решением следующих вопросов: дискретизация области, выбор системы конечных элементов, анализ особенностей интерполирования исследуемых функций и выбор вектора обобщенных узловых перемещений, удовлетворение условиям сходимости.

Во многих автоматизированных системах, реализующих метод конечных элементов, имеется возможность автоматического выделения узлов и получения сетевой структуры для данного объекта. Пользователь при этом должен лишь задать параметры модели на основе метода конечных элементов, и система самостоятельно произведет все нужные вычисления.

Результат анализа по методу конечных элементов часто лучше всего отображается системой в графической форме на экране дисплея и легко воспринимается пользователем благодаря наглядности. Так, например, при исследовании развиваемых в объекте механических усилий конечный результат может быть отображен на экране в виде деформированной формы, совмещенной с изображением ненагруженного объекта. Еще одна возможность – это цветная графика. С помощью цвета можно сделать изображение на экране графического дисплея гораздо более информативным. Деформации, например, могут воспроизводиться разными цветами.

В заключение следует подчеркнуть, что все методы анализа относятся к классу так называемых поверочных расчетов.

Цель поверочных расчётов – установить, лежат ли контролируемые значения величин в допустимых пределах. Поэтому поверочные расчёты требуют подробного описания конструкции.

Если полученные результаты анализа свидетельствуют о нежелательных свойствах поведения проектируемого объекта, конструктор изменяет его форму и повторяет анализ для пересмотренной конструкции. Этот процесс называется параметрической оптимизацией.

3.2.3. Этап оптимизации и понятие оптимального проектирования

Вторым типом наиболее математически-разработанных и программно-обеспеченных задач, применяемыми в САПР, являются задачи оптимального проектирования

Считается, что наиболее трудоемким и объемным этапом проектирования является этап анализа (расчета) проектируемого изделия. Как уже говорилось, для проведения анализа требуются сложные инженерные расчеты, так как он не может основываться на субъективных суждениях. Но в результате анализа выявляются возможности конкретных усовершенствований, которые можно внести в проектируемый объект. Таким образом, помимо самого анализа (расчета) конструкции или её элементов при проектировании используются и такие термины как «усовершенствование», «улучшение», наконец, «оптимизация», без которых не мыслится создание и разработка нового изделия. Это вполне естественно, так как проектировщик стремится получить всегда «наилучшую» конструкцию, найти «наилучшее» решение. Действительно, цель расчётов – это установить, лежат ли контролируемые значения величин в допустимых пределах. Если полученные результаты анализа свидетельствуют о нежелательных свойствах поведения проектируемого объекта, конструктор попытается изменить, например, его форму или параметры каких-нибудь частей и повторить анализ для пересмотренной конструкции. Но и в том случае, когда контролируемые величины не выходят за пределы ограничений, конструктор обязательно будет стремиться изменить параметры изделия (оставаясь в рамках ограничений) с целью достижения его наилучших характеристик. Этому, прежде всего, способствует такое свойство математических моделей, как множественность решений относительно искомых данных.

Как уже отмечалось ранее, весь процесс проектирования носит итеративный характер, и на каждой итерации происходит улучшение первоначальных проектных решений, однако неудобство состоит в том, что при отсутствии автоматизации каждый цикл анализа и осуществление поиска наилучшего решения занимает очень много времени и для завершения всего проекта необходим большой объем трудозатрат.

Разработка рациональных методик автоматизированного проектирования, целью которых является нахождение по возможности наилучшего проекта, представляет собой увлекательную задачу. Такая задача сама по себе является мощным стимулом интеллектуального поиска, как в практической, так и в чисто теоретической области. Большая популярность таких методов при проектировании различных механических устройств, конструкций летательных аппаратов, морских и речных судов, при проектировании строительных конструкций лишь подчеркивает значимость тонких подходов и более эффективного применения их в практической реализации.

Процесс создания наилучшей конструкции получил название оптимального проектирования или оптимизации.

Общие положения

Термином “оптимизация” обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить наилучшее решение. Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов, и, хотя именно это является целью оптимизации, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают, скорее, стремление к совершенству, которое, возможно, не будет достигнуто. При конструировании летательных аппаратов – чрезвычайно сложных технических объектов, функции и эффективность которых, как уже говорилось, оказывают влияние, выходящее за рамки их непосредственного применения и распространяющееся на сферы экономики и политики, оптимальное проектирование, как метод, играет важнейшую роль.

Любая абстрактная система описывается конечным числом параметров (величин), находящихся во взаимном взаимодействии. Это взаимодействие, как правило, описывается какими-либо соотношениями или уравнениями. Задача проектировщика состоит в нахождении таких параметров (величин), сочетание которых будет наиболее оптимальным по отношению к какому-то заранее выбранному критерию или критериям. Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если m = n, задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение и вопрос об оптимальном соотношении параметров здесь вообще не стоит. Если m > n то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при m < n задача недоопределена и имеет бесконечное множество решений. В практике проектирования чаще всего приходится иметь дело с задачами третьего типа и поэтому перед разработчиком, как правило, стоит задача выбрать из этого бесконечного множества решений такое, которое наилучшим образом удовлетворяет какому-либо критерию. Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений и понятий.

Начнем с того, что идеализированная конструкция должна быть описана конечной системой величин, относящимся к размерам самой конструкции и её элементов, топологии конструкции (отражающей взаимное расположение элементов относительно друг друга и в пространстве), характеристик материалов, из которых изготовлены элементы конструкции и т.п. величин.

Заданными параметрами являются параметры, описывающие конструкцию, величины которых принимают фиксированные, неизменяемые значения. При реализации процедуры проектирования и переходе от одного варианта к другому заданные параметры не меняются.

Проектные параметры или переменные проектирования – это те, описывающие конструкцию величины, которые изменяются с помощью преобразования конструкции в процессе её проектирования. Эти величины являются независимыми переменными, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования.