Методические указания к выполнению курсовой работе, страница 6

Но структура матрицы (расположение ненулевых элементов в матрице) становится известной сразу после формирования сетки КЭ подпрограммой GRIDDM, так как в этой подпрограмме каждому узлу сетки КЭ задается номер. А так как, в конечном итоге, неизвестными в решении задачи методом конечных элементов являются значения перемещений в узлах, то и наличие или отсутствие перемещения в узле в некоторой степени определяется наличием или отсутствием ненулевых элементов в строке матрицы, которой соответствует номер узла, хотя связь здесь далеко неоднозначна (формирование матрицы системы происходит достаточно сложным образом). Тем не менее, для узлов, закрепленных по двум осям, соответствие полное. В этом наиболее просто убедиться по распечатке матрицы: в строках, соответствующих номеру закрепленного узла ненулевых элементов нет вообще (см. текстовый файл результатов расчета). Следует только цчитывать что для нахождения номера строки матрицы по номеру узла надо номер узла умножить на два (два перемещения в узле). Тогда найденная строка будет соответствовать перемещению узла по направлению оси Y, а предыдущая – перемещению вдоль оси X.

Итак, при решении задачи в Sigma, как и во всякой САЕ-системе, реализующей МКЭ, после операции триангуляции создается образ будущей матрицы, указывающий положение нулевых и ненулевых элементов, затем после работы блока RENMDD эта матрица упорядочивается, в результате чего формируется новый образ матрицы с более эффетивной для осуществления вычислительного процесса структурой. Этот образ является окончательным и именно такую структуру матрицы и заполняет реальными числами подпрограмма FORMDD.

В Sigma в панели основных параметров можно отключить блок упорядочения. Тогда расчет задачи будет происходить с помощью неупорядоченной матрицы. При этом, при подключении блока упорядочения можно задать алгоритм упорядочения.

В П.4 следует использовать алгоритмы ленточных и профильных методов: 3 – ленточных и 2- профильных.

В результате на одной задаче в Sigma можно получить для каждого NRC помимо неупорядоченной матрицы ещё пять матриц, которые будут отличаться только структурой (шириной ленты, размером профиля и т.д.), ибо размерность у всех шести матриц будет одинаковой.

Для задач одной размерности число уравнений алгебраической системы одинаково. Только системы уравнений записаны по-разному: переставлены часть строк или столбцов или все строки и столбцы. 

Как получены эти матрицы - для П.4 безразлично. Поэтому вполне можно использовать нумерацию для обозначения матриц вместо слов неупор, RCM, СМ, QMD, ибо перечисленные обозначения относятся к причине появления исследуемых матриц, а в П.4 исследуется эффективность хранения разных матриц, отличающихся только перечисленными выше характеристиками для задач одной размерности. Но так как, меняя NRC, можно получить информацию для задач разной размерности, то необходимо установить не только, как влияет на эффективность хранения модифицированной профильной схемой ширина ленты матрицы, размер профиля матрицы, число ненулевых элементов и, быть может, какое-то сочетание этих параметров, но и размерность решаемой задачи. Необходимо также предложить формулы, по которым можно предсказать размерность массива ENV в зависимости от ширины ленты матрицы, профиля, от размерности задачи, числа ненулевых элементов, или от комбинации этих параметров. Для этого можно использовать обработку графиков численных результатов расчета методами регрессионного анализа.

ВНИМАНИЕ

В задание П.4 входит анализ эффективности хранения разных матриц модифицированной профильной схемой, а в П.6. анализ эффективности работы алгоритмов приведения матриц. Матрицы получаются с подключением и без подключения алгоритмов упорядочения. В случае неупорядоченной матрицы запросы программной системы к памяти могут существенно возрасти. Поэтому при выполнении П.4 и П.7 необходимо задать размерности массивов с учетом максимальных потребностей программы при расчете конкретной задачи. Для определения максимальных размерностей массивов необходимо отключить алгоритмы упорядочения (см. панель задания основных параметров), в результате чего в модуле REMNDD отключается вызов подпрограммы GENRCM и выполняются операции группы строк:

DO I=1, NP

PERM(I) = I

ENDDO

При выполнении П.4. и П.5 надо будет объяснить в отчете смысл проводимой операции.

Необходимо также обратить внимание на массивы (например, ENV), которые используются программой по разному назначению (см. приложение 1 настоящих указаний).

Оформление отчета по П.4

• результаты исследования необходимо представить в виде таблиц (в зависимости от нескольких NRC) общих запросов к памяти для хранения различных матриц, размерностей массивов, реализующих используемую схему хранения матриц, степени разреженности матриц.

• привести результаты исследования эффективности работы алгоритма упаковки. Привести и обосновать размерности основных массивов при отсутствии упорядочения. Сравнить их с размерностями массивов при использовании матриц, получаемых с помощью прямого (СМ) алгоритма Катхилла и Макки, метода Розена (LR), обратного (RCM) алгоритма Катхилла и Макки, метода Кинга (MK), а также алгоритма минимальной степени (QMD).

Форма таблицы по П.4.

Примечание 1: для определения эффективности используемого алгоритма упаковки необходимо сравнить число используемых элементов массива ENV с действительным размером оболочки матрицы.

Примечание 2: для корректного сравнения затрат памяти для хранения матрицы необходимо подсчитать число элементов, которые необходимо выделять для хранения полностью нижнего треугольника квадратной матрицы одним массивом. Коэффициент эффективности можно получить, сравнивая действительно занимаемую память и память при хранении нижнего треугольника матрицы одним массивом. Построить график зависимости коэффициента эффективности от размерности решаемой задачи и сделать выводы по таблицам и по графику.

Далее анализ и выводы, при необходимости подкреплённые графиками.

П.5. Подсистема и алгоритмы упорядочения матриц.

В процессе выполнения задания П.5 студент обязан познакомиться со структурой, назначением и кодом подсистемы упорядочения матриц RENMDD, включающей подпрограммы STSM, GENRCM, FNROOT,RCM, ROOTLS, DEGREE, GENQMD, QMDRCH, QMDQT, QMDUPD, и QMDMRG, реализующих следующие методы упорядочения матриц:

В П.5. КР необходимо изучить основные положения перечисленных методов и представить результаты исследования эффективности прямого алгоритма Катхилла и Макки (СМ), алгоритма Розена (LR), обратного алгоритма Катхилла-Макки (RCM), алгоритма Кинга (МК), а также алгоритма минимальной степени (QMD) при нескольких NRC.

Необходимо также представить результаты сопоставления заполнения множителя L, ширины его ленты и размера профиля без использования упорядочения и при различных упорядочениях, ширины ленты и размера профиля исходной матрицы с аналогичными характеристиками матриц, полученных без упорядочения и в результате разных упорядочений.

Предварительно надо привести распечатки образа матриц и множителя L для неупорядоченной матрицы и упорядоченной прямым алгоритмом Катхилла и Макки, методом Розена, обратным алгоритмом Катхилла-Макки, методом Кинга и алгоритмом минимальной степени.

Форма представления результатов по П.5. показана ниже на примере неупорядоченной матрицы, матрицы после упорядочения прямым и обратным алгоритмами Катхилла-Макки, а также соответствующим им множителем L.

Пример: распечатка образа (или его части) неупорядоченной и упорядоченной

алгоритмамим СМ, RCM матрицы жесткости при NRC=3 для Example 2.