rpd000003197 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 39

Полученное выражение следует из того, что суммирование по индексу k исчезает вследствие некоррелированности случайных величин V_i, V_k, а значит равенства нулю M[V_i V_k]=0. Полагая t = t₁ = t₂, получаем выражение для дисперсии

На практике ограничиваются конечным числом членов канонического разложения.

Наряду с корреляционной функцией для статистического описания стационарных случайных процессов используют спектральную плотность S_X() . Так называют функцию частоты , являющуюся обратным интегральным преобразованием Фурье от корреляционной функции R_Х() случайного процесса X(t):

В свою очередь корреляционная функция R_Х() случайного процесса X(t) выражается через его спектральную плотность S_X() как результат прямого интегрального преобразования Фурье

Полагая в последнем выражении =0 получаем выражение для дисперсии D_Х = R_Х(0) стационарного случайного процесса X(t) через его спектральную плотность

Здесь нужно сделать важное замечание. При комплексной записи ряда Фурье формально возникают как положительные, так и отрицательные частоты. Однако, при разложении действительных функций времени Х(t) колебания с отрицательными частотами не имеют физического смысла. Учитывая это, воспользуемся тригонометрической формой представления , учитывая равенства:

В результате получим выражения для корреляционной функции и спектральной плотности стационарного случайного процесса, определенные для положительных частот

и

Таким образом, при практическом описании стационарных случайных процессов вместо S_X() может задаваться спектральная плотность S^*_X(), определенная в положительном диапазоне частот:

С учетом этого корреляционная функция процесса должна вычисляться по известной спектральной плотности с помощью выражения

а дисперсия определяется как

Последнее выражение позволяет дать физическую интерпретацию спектральной плотности S_X(): она характеризует распределение дисперсии стационарного случайного процесса по частотам непрерывного спектра гармонического разложения этого процесса.

В качестве примера, определим спектральную плотность белого шума. Для белого шума

R_Х()=N(),

где N – постоянная интенсивность; ()- дельта-функция

То есть спектральная плотность белого шума остается постоянной на бесконечном интервале частот. Это указывает на физическую нереализуемость такого шума, поскольку для его реализации потребовалась бы бесконечная энергия источника такого шума.

Равномерное распределение дисперсии на бесконечном интервале частот можно использовать для иной интерпретации белого шума. Известно, что спектр солнечного света в оптическом диапазоне частот близок к равномерному. Именно по этому случайный процесс с равномерной спектральной плотностью называют белым шумом. Все другие процессы, у которых функция спектральной плотности меняется по частоте, называют окрашенными шумами. На практике в качестве белого шума рассматривают любой окрашенный шум, спектральная плотность которого остается постоянной в пределах частоты пропускания системы, на которую воздействует этот шум.

11.4. Случайные поля и их характеристики.

Еще одной разновидностью случайных информационных сигналов, регистрируемых в процессе экспериментальных исследований являются случайные поля [23].

Случайным полем называется случайная функция неслучайного векторного аргумента. Типичным примером случайного поля выступает любое изображение, задаваемое распределением значений яркостей R(x,y) в каждой точке изображения с координатами x,y. Учитывая, что получение изображения сопровождается появлением случайных погрешностей в процессе преобразования и передачи сигнала, значение яркости в каждой точке может интерпретироваться как случайная величина, а изображение в целом, как случайное поле.

Если в состав компонент вектора аргументов поля входят только координаты пространства, то такое случайное поле называют пространственным. Если же в состав аргументов поля входит также и время, то случайное поле называют пространственно-временным.

Рассмотрим некоторые статистические характеристики случайного поля. обозначим вектором r ={x,y,z}- вектор аргументов пространственного случайного поля u(r). Вектор r определен в некоторой области D возможного изменения координат x,y,z. Точку r_iD определим как точку наблюдения случайного поля В каждой точке r_i наблюдается скалярная случайная величина u_i= u(r_i). Случайное поле u(r) называется описанным полностью, если для любого произвольного набора точек r₁, r₂,…, r_n наблюдения известно n–мерное совместное безусловное распределение вероятностей p(u₁,r₁; u₂,r₂;….; u_n,r_n) случайных величин u₁,u₂,….u_n. В частности, если при любых r_i, i=1,…,n и любом n справедливо соотношение

,

то поле называется абсолютно случайным и для его статистического описания достаточно задать одномерную плотность p_u(r) распределения значений поля в зависимости от координат точки.

Также, как и при описании случайных процессов, для практического анализа статистических свойств случайных полей пользуются их моментными характеристиками.

Математическое ожидание m_u(r) случайного поля u(r) характеризует среднее значение случайной величины u в каждой точке r области возможных значений D.

m_u(r)= М[u(r)].

Дисперсия D_u(r) случайного поля u(r) характеризует степень разброса относительно среднего значения m_u(r) случайной величины u в каждой точке поля r .

D_u(r)= М[(u(r) - m_u(r))²]

Корреляционная функция R_u(r) случайного поля u(r) характеризует степень статистической взаимосвязи значений поля в точках r₁ и r₂.

R_u(r₁, r₂.)= М[(u(r₁) - m_u(r₁ )(u(r₂) - m_u(r₂ ))].

Случайное поле u(r) называется однородным в широком смысле, если его математическое ожидание m_u(r) является постоянным во всех точках области D, а корреляционная функция R_u(r) не изменяется при переносе пары точек наблюдения r₁ и r₂ на один и тот же вектор r₀, то есть

R_u(r₁, r₂.)= R_u(r₁+ r₀, r₂ + r₀).

Иными словами, аргументом корреляционной функции однородного скалярного поля являются не координаты точек наблюдения r₁ и r₂ того поля, а вектор r =r₂ - r₁, соединяющий эти точки в области D. Свойство однородности случайного поля эквивалентно свойству стационарности случайного процесса

Однородное случайное поле u(r) называется изотропным, если корреляция между значениями этого поля в точках r₁ , r₂ не зависит от ориентации вектора r, а зависит только от его длины. Таким образом, в раках корреляционной теории изотропное случайное поле u(r) исчерпывающе описывается двумя характеристиками: математическим ожиданием m_u(r) и корреляционной функцией R_u(r).

Мы рассмотрели статистические характеристики скалярного случайного поля. Рассмотрим теперь векторное пространственное случайное поле u(r), у которого аргумент r - вектор с координатами r =(x,y,z), а u –вектор с проекциями u =( u_x, u_y, u_z). На практике при исследовании векторного случайного поля проекции u_x(r), u_y(r), u_z(r) рассматривают как совокупность трех случайных полей. Статистическое описание этой совокупности эквивалентно статистическому описанию векторного поля u(r). В рамках корреляционной теории для описания совокупности случайных полей u_x(r), u_y(r), u_z(r) необходимо задать:

1. вектор их математического ожидания m_u(r) =( m_ux(r), m_uy(r), m_uz(r)) , каждая компонента которого есть математическое ожидание соответствующей составляющей вектора u в точке наблюдения r.

2. матричную корреляционную функцию R_u(r₁,r₂.), характеризующую статистическую взаимосвязь между различными компонентами вектора u в точках наблюдения r₁,r₂.

R_u(r₁, r₂.)= М[(u(r₁) - m_u(r₁ ) (u(r₂) - m_u(r₂ ))^Т].

Версия: AAAAAARxgR0 Код: 000003197