rpd000003080 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 11

(10.4)

Полагая, что функция найдена, перейдем к предпоследнему шагу управления в момент . Для этого шага будущее поведение системы определяется состоянием и управлениями , . Поэтому управления , должны выбираться так, чтобы обеспечить минимум суммы

Как и ранее введем обозначение

(10.5)

Поскольку первое слагаемое в этом выражении не зависит от , приведенное выше выражение можно представить в виде:

(10.6)

Или с учетом ранее введенной функции

(10.7)

Выполнив в (10.7) операцию минимизации по при всех , находим оптимальный закон управления . После этого можно перейти к нахождению оптимального управления в момент . Повторив ранее выполненные рассуждения, получим для

(10.8)

По индукции, для произвольного шага имеем

(10.9)

- функция будущих потерь, представляющая собой минимально возможное значение критерия оптимальности (10.2), которое ожжет быть достигнуто при движении из состояния :

,

Граничное условие для основного рекуррентного соотношения (10.9)

(10.10)

Заметим, что определенная в соответствии с рекуррентным соотношением (10.9) последовательность управлений обеспечивает минимальное значение критерия (10.2). Это следует из самого определения функции будущих потерь. Действительно для шага имеем

Следовательно, рекуррентное соотношение (10.9) с граничными условиями (10.10) является достаточным условием оптимальности управляющей последовательности . Фактически рекуррентное соотношение (10.9) реализует метод динамического программирования на основе выдвинутого им принципа оптимальности. Как упоминалось ранее в соответствии с этим принципом оптимальное управление в текущий момент времени не зависит от предыстории системы, а определяется только текущим состоянием системы и целью управления.

Практическое применение достаточных условий оптимальности сводится к последовательному - шаговому процессу использования рекуррентного соотн6ошения (10.9), начиная с конечного шага и заканчивая моментом . В результате определяются зависимости оптимального управления от текущего состояния системы , то есть решается задача синтеза оптимального управления. При этом на каждом шаге минимизация проводится лишь по текущему вектору управления . Иными словами, метод динамического программирования, реализующий достаточные условия оптимальности, представляет, по-существу, метод численного решения задачи синтеза оптимального управления путем поэтапной минимизации функции многих переменных.

Основным препятствием для применения изложенного метода служит так называемое «проклятие размерности», которое заключается в необходимости запоминания на каждом шаге оптимизации функции будущих потерь, представляющей собой функцию многих переменных. Запоминание таких функций требует огромных вычислительных ресурсов. Несколько ослабить эту проблему удается, если использовать какие-либо аппроксимации функций будущих потерь.

Полученные достаточные условия оптимальности управления дискретной динамической системой с критерием общего вида распространяются на задачу управления конечным состоянием с критерием

Рекуррентные соотношения (10.9) для этого случая приобретают более простой вид:

с граничными условиями

ТЕМА 3.doc

Тема 3. Синтез оптимального управления линейной системой .

12.1. Линейные дискретные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию

Рассматривается задача оптимального управления дискретной линейной системой вида:

, (12.1)

(12.2)

Первое слагаемой в выражении для критерия характеризует энергетические затраты на управление, второе- эффект управления конечным состоянием. Задача состоит в отыскании такого закона управления , при котором достигается минимум критерия (12.2). Каких-либо ограничений на управление не накладывается

Основное рекуррентное соотношение

(12.3)

для рассматриваемой задачи приобретает следующий вид:

(12.4)

Причем имеет место граничное условие:

(12.5)

Подставляя в (12.4) с учетом 12.5 имеем:

(12.6)

Для отыскания минимума используем необходимое условие экстремума:

(12.7)

Откуда

(12.8)

Поскольку матрицы - положительно определенные, то найденное управление удовлетворяет и достаточному условию минимума

.

С учетом управления выражение для функции будущих потерь приобретет вид:

(12.9)

С учетом введенных обозначений

после преобразований последнее выражение приобретает вид

(12.10)

Видим, что структура функции не изменилась по сравнению со структурой функции .

После определения функции будущих потерь можно перейти к отысканию этой функции на предыдущем шаге , полагая в (12.4) . Выполнив преобразования, аналогичные тем, которые использовались для получения функции , можно убедиться в том, что структура функции повторяет структуру функции . Это позволяет утверждать, что для любого шага функция будущих потерь имеет вид:

.

В справедливости этого утверждения можно убедиться, действуя по индукции. Действительно, если функция будущих потерь сохраняет свою структуру для любого шага управления, то

.

Тогда

(12.11)

Отсюда находим искомое управление

(12.12)

С учетом управления выражение для функции будущих потерь приобретет вид:

, (12.13)

где

(12.14)

Таким образом, закон управления линейной динамической системой при квадратичном критерии является линейным. Матрица называется матрицей коэффициентов обратной связи, так как она характеризует взаимосвязь вектора состояния (выходного вектора замкнутой управляемой системы) и управления .

12.2. Линейные непрерывные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию

Рассмотрим задачу формирования оптимального закона управления непрерывной линейной системой вида

, (12.15)

где - вектор ткущего состояния системы размера , - вектор управления размера , на который наложены ограничения ; время функционирования системы ограничено . В качестве критерия оптимальности как и в случае дискретной системы рассмотрим критерий общего вида:

(12.16)

Здесь

- переменные матричные коэффициенты соответствующей размерности, причем - симметричные, положительно-определенные матрицы.

Рассмотрим два варианта решения задачи.

Первый подход. Дискретизируем исходную непрерывную систему

(12.17)

где

- единичная матрица, - интервал дискретизации.

Критерий оптимальности в дискретном представлении примет вид:

(12.18)

где

Запишем, полученные выше для линейной дискретной системы рекуррентные соотношения

,

или с учетом дискретизации

,

Перейдем в последних выражениях к пределу при , получим:

Получим выражение для матрицы . Для этого перепишем выражение для матрицы в виде

.

Отсюда обратная матрица

Тогда

.

В пределе, при , имеем:

Получим теперь выражение для определения матрицы . Для этого воспользуемся выражением

,

подставив в него соотношения для и

Раскроем сначала матричное произведение

выполним матричное произведение .

Тогда

Тогда в окончательном виде имеем

Составим разность

В пределе при получим

Данное выражение получено с учетом того, что - симметричные матрицы.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется с краевым условием

.

Оптимальная система управления, соответствующая найденному решению, представляет собой линейную систему с переменными по времени коэффициентами обратной связи, представленными элементами матрицы . Характерно, что элементы матрицы зависят от времени даже в ситуации, когда матрицы не зависят от времени. Это очевидным образом следует из уравнения для матрицы . Однако, если матрицы не зависят от времени, то при достаточно большом можно говорить об «установившемся» режиме. В этом случае, полагая , получим следующее нелинейное алгебраическое уравнение относительно постоянной матрицы :

Второй подход. Решаем уравнение Беллмана

Из условия минимума непосредственно следует:

,

или

С учетом полученной структуры оптимального управления

Решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя это выражение в вышеприведенное уравнение имеем

Поскольку - симметричная матрица, получаем

С учетом выражения для функции будущих потерь, оптимальное управление в окончательном виде принимает вид

Впервые задача синтеза оптимального управления линейной системой с квадратичным критерием качества под названием «Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов» была поставлена и решена российским ученым А.М. Летовым. Эта задача имеет достаточно широкую область применения и используется при проектировании оптимальных регуляторов для разнообразных систем управления.

Версия: AAAAAARxfUk Код: 000003080