rpd000003061 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 12

Потребуем, чтобы для вектора выполнялось следующее краевое условие

Следуя введенному определению вектора , вычислим его значение на шаге i+1.

……………………………………

.

Подставим значения в выражение для

.

Видим, что с учетом определения вектора

.

Введем теперь скалярную функцию, называемую гамильтониан (функция Гамильтона), которую определим как:

.

Легко убедиться, что

Следовательно, необходимые условия оптимальности управления с учетом введенного гамильтониана приобретают следующий вид:

С учетом введенного гамильтониана соотношения, определяющие вектор :

,

и уравнения, описывающие функционирование системы

,

могут быть представлены в виде канонической системы уравнений

Вектор , удовлетворяющий приведенной выше канонической системе уравнений называется сопряженным вектором.

Таким образом, необходимое условие оптимальности в задаче управления динамической системой

с целью минимизации критерия

заключается в выполнении на каждом шаге функционирования системы неравенств

с учетом связей

В некоторых важных для практических приложений случаях, необходимые условия оптимальности могут быть приведены к более конструктивному виду. В частности, если выполнены условия:

1) допустимые множества управлений на каждом шаге функционирования динамической системы являются выпуклыми.

Множество выпукло, если для любых двух точек, принадлежащих этому множеству, ему принадлежит и соединяющий их отрезок.

2) гамильтониан является выпуклой функцией управления

Тогда условие

эквивалентно условию минимума гамильтониана. То есть, необходимое условие оптимальности при выполнении вышеприведенных условий приобретает вид:

Приведенное условие известно как принцип минимума.

Замечание: если в рассматриваемой задаче критерий оптимальности определить как

то, повторив все приведенные выше выкладки, вместо условий минимума гамильтониана мы придем к традиционной записи условия оптимальности в виде принципа максимума

.

Итак мы сформулировали необходимое (а при выполнении указанных выше условий и достаточное) условие оптимальности управления дискретной системой. Это условие, к сожалению, не предлагает явного алгоритма получения оптимального управления. Более того, непосредственное использование этих условий для решения задач программирования оптимального управления может оказаться весьма затруднительным. Однако, существуют задачи, некоторые примеры которых будут рассмотрены ниже, для которых использование принципа минимума, позволяет достаточно просто получить решение. Практическая ценность принципа максимума в том, что он позволяет свести решение динамической задачи управления к существенно более простой статической (одношаговой) задаче математического программирования. Действительно, используя понятие гамильтониана задачу поиска оптимального управления можно сформулировать следующим образом:

Необходимо получить решение для сопряженной системы:

доставляющее минимум гамильтониана

Рассмотрим один из возможных способов поиска оптимального управления на основе принципа минимума:

1. зададим некоторое начальное приближение для управления

;

2) определим траекторию динамической системы для этого управления

3) «обратным ходом» определим значения сопряженного вектора вдоль траектории:

4) рассчитаем значения градиентов гамильтониана на каждом шаге:

5) получим новое приближение для управления, используя традиционный метод градиентного спуска

То есть приходим к процедуре рекуррентного уточнения программы управления. В одной из последующих лекций мы подробнее остановимся на анализе численных процедур получения оптимального управления на основе рассмотренного принципа максимума. Сейчас же попытаемся обобщить полученные результаты на критерий общего вида.

Получим выражение для гамильтониана применительно к этому критерию. Как и ранее воспользуемся методом игольчатой вариации управления, применение которого приводит к необходимым условиям оптимальности в виде неравенства

В отличие от ранее рассмотренной задачи управления конечным состоянием в этом случае

Ранее мы получили выражение для производной

Исходя из этого, определим гамильтониан как

нетрудно убедиться, что

,

а, следовательно, необходимые условия оптимальности сохраняют свой вид

При выполнении ранее упомянутых условий (выпуклость множеств допустимых управлений и гамильтониана) это необходимое условие превращается в условие минимума гамильтониана.

ТЕМА 5.doc

Тема 5. Оптимальное по быстродействию управление линейной системой с постоянными коэффициентами. Структура оптимального управления

Задачи оптимизации управления, в которых минимизируется время перехода динамической системы из начального состояния в конечное называются задачами об оптимальном быстродействии. Рассмотрим пример такой задачи для линейной системы с постоянными коэффициентами.

Математическая модель управляемой динамической системы в этом случае имеет вид:

,

где - вектор размера , - вектор управления размера , матричные постоянные коэффициенты соответствующих размеров. На компоненты вектора управления наложены ограничения

.

То есть, множество допустимых управлений представляет собой - мерный куб, длина ребер которого равна 2. Так как речь идет о минимизации времени перехода системы из начального состояния в конечное , то критерий оптимальности имеет вид

.

То есть имеет место задача Лагранжа, в которой . Для нахождения оптимального управления составим гамильтониан

Здесь - вектор размера .

Запишем для рассматриваемой задачи каноническую систему дифференциальных уравнений:

,

,

Оптимальное управление будем искать из условия максимума гамильтониана. Особенность задачи состоит в том, что гамильтониан является линейной функцией управления

Следовательно, максимум гамильтониана по управлению будет достигаться на границах интервалов допустимых значений. Иными словами:

Если на некотором интервале значение , то гамильтониан не зависит от компоненты управления , которая может принимать любое значение в допустимом диапазоне. Перепишем вышеприведенное условие в более компактном виде

или в векторном виде

Поскольку конечное время не фиксировано (свободно), то из свойств гамильтониана следует, что

Из этого выражения следует

Отсюда убеждаемся, что оптимальный сопряженный вектор . Более того, известна теорема Фельдбаума, которая гласит следующее: если все собственные числа матрицы - действительные числа, то оптимальное управление имеет не более, чем переключение.

Для получения решению задачи программирования оптимального по быстродействию управления в общем случае приходиться использовать численные методы решения канонической системы

, ,

, ,

.

Предположим, что алгоритм решения этой системы существует, тогда для каждого момента времени может быть найден вектор , сопряженный вектор , а значит, может быть установлена зависимость . В общем случае эта зависимость не имеет аналитического представления, ам устанавливается численно. Тогда управление можно представить как функцию состояния, то есть

,

где имеет смысл функции переключения. Полученный результат позволяет достаточно просто реализовать устройство, обеспечивающее выработку оптимального по быстродействию управления.

ТЕМА 6.doc

Тема 6. Линейные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию. Задача программирования оптимального управления. Задача синтеза оптимального управления.

6.1. Задача программирования оптимального управления.

Рассмотрим линейную динамическую систему

,

где

- фазовый вектор размера , ;

- вектор управления размера ;

- матрицы размеров , соответственно

, конечный момент - фиксирован (задан), .

Критерий оптимальности имеет вид:

Здесь

положительно определенные матрицы размеров , . То есть для любых векторов , выполняются условия

Для определения оптимального управления воспользуемся необходимыми условиями оптимальности. Запишем гамильтониан

,

где - сопряженный вектор размера .

Оптимальное управление будем искать из условия максимума гамильтониана. Поскольку гамильтониан является вогнутой функцией управления, точка экстремума этой функции будет точкой максимума. Точку экстремума определим из условий

Отсюда находим