rpd000008581 (231300 (01.03.04).Б3 Математическое моделирование динамических систем), страница 2

Тематика: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Трудоемкость(СРС): 10

Прикрепленные файлы: Курсовая работа МА теория 1 курс 1 семестр 8 факультет.doc, Курсовая работа МА практика 1 курс 1 семестр 8 факультет.doc

Типовые варианты:

1. Рубежный контроль

1.1. Контрольная работа 1 семестр.

Тип: Контрольная работа

Тематика: Вычисление пределов.

Прикрепленные файлы: Пробный вариант контрольной работы.doc

2.1. Контрольная работа на второй семестр.

Тип: Контрольная работа

Тематика:

Прикрепленные файлы: Пробный вариант Контрольной работы для 8 факультета на весенний семестр.docx

1. Промежуточная аттестация

1. Экзамен (1 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Действительные числа и их свойства. Принцип Архимеда

2.Множество действительных чисел как метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества в нем.

3.Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).

4.Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега).

5.Лемма о предельной точке (принцип Больцано Вейерштрасса)

6.Грани числовых множеств. Теорема существования точных граней.

7.Предел последовательности. Общие свойства предела.

8.Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах.

9.Бесконечно малые и бесконечно болыпие последовательности, их свойства.

10.Критерий существования предела монотонной последовательности. Число е.

11.Подпоследовательности. Теорема Больцано Вейерппрасса.

12.Верхнийи нижний пределы последовательностей.

13.Критерий Коши сходимости последовательностей.

14.Предел функции. Эквивалентность определений Гейне и Коши.

15.Свойства предела функции. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.

16.Предел сложной функции

17.Предел по базе. Односторонние пределы, пределы на бесконечности.

18.Критерий Коши существования предела функции.

19.Замечательные пределы.

20. Существование предела монотонной функции.

21.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

22.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

23.Непрерывноцть сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

24.Теорема Вейерштрасса.

25.Теорема Больцано-Коши.

26.Критерий непрерывности монотонной функции.

27.Теорема об обратной функции.

28.Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

29.Непрерывность основных элементарных функций.

30.Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью.

31.Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

32.Инвариантность формы первого дифференциала.

33.Правила дифференцирования.

34.Производная сложной функции.

35.Производная обратной функции.

36.Геометрический смысл производной и дифференциала.

37.Производные основных элементарных функций.

38.Производные высших порядков. Правила вычисления, формула Лейбница.

39.Производные высших порядков от сложных и обратных функций.

40.Дифференцирование параметрически заданных функций.

41.Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы.

42.Теорема Ферма.

43.Теорема Ролля.

44.Формула конечных приращений Лагранжа.

45.Теорема Коши

46. Правила Лопиталя раскрытия неопределенности О/О.

47.Правило Лопиталя раскрытия неопределенности бесконечность / бесконечность

48.Локальная формула Тейлора, Остаточный член в форме Пеано.

49.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

50.Основные разложения по формуле Тейлора.

51.Условия монотонности функций.

52.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

53.Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

55. Условия выпуклости и наличия точки перегиба графика функции.

56.Вертикальные и наклонные асимптоты.

2. Экзамен (2 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменной и интегрирование по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных дробей. Подстановки Эйлера.

2.Интеграл Римана, его свойства. Необходимое условие интегрируемости, достаточное условие интегрируемости.

3.Суммы Дарбу, критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и кусочно — непрерывных функций.

4.Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям, Теорема о среднем.

5.Приложение интеграла Римана.

6.Несобственные интегралы, определение, свойства, критерий Коши. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.

7.Абсолютная сходимость несобственных интегралов, признаки абсолютной сходимости несобственных интегралов.

8.Признаки Дирихле и Абеля.

9.Rn как метрическое пространство (2 эквивалентные метрики). Открытые и замкнутые множества и сходящиеся последовательности в R Полнота R

10.Компакты в Rn, необходимое и достаточное условие компактности, свойства компактов.

11.Непрерывные функции и непрерывное отображение областей в Rn пределы функций и непрерывность их свойств, критерий Коши.

12.Свойства непрерывных функций на компактах.

13.Равномерная непрерывность непрерывных функций на компактах.

14.Частные производные и дифференцируемость функций, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал, его инвариантность.

15.Дифференцирование сложных функций, правила дифференцирования, производная по направлению и градиент/

16.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Шварца.

17.Формула Тейлора. Экстремум функций от нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия.

18.Теорема об обратном отображении, теоремы о неявных функциях. Касательное пространство и касательная плоскость.

19.Условный экстремум, необходимое и достаточное условия его существования.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. В.А. Зорич. Математический анализ. В 2-х ч. - М.: МЦНМО, 2002.

2. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. В 3-х т. - М.: Дрофа 2004.

3. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 2002.

4 Е.П. Иванова. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.-М.:МАИ, 2009

б)дополнительная литература:

5. И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. - М.: Дрофа 2001.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для проведения занятий необходима доска с мелом (маркером).

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Математический анализ »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Математический анализ является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Прикладная математика. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 803.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ОК-12.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: умением решпть задачи дифференциального и интегрального исчисления, вычислять пределы, дифференцировать, интегрировать, исследовать функции методами дифференциального исчисления, применять аппарат математического анализа к решению практических задач.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: рубежный контроль в форме Контрольная работа и промежуточная аттестация в форме Экзамен (1 семестр) ,Экзамен (2 семестр).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (84 часов), практические (84 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (66 часов) самостоятельной работы студента.

Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Математический анализ »

Cодержание учебных занятий

1. Лекции

1.1.1. Л.1. Свойства вещественных чисел.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Алгебраическое определение множества вещественных чисел. Важнейшие классы вещественных чисел. Геометрическое описание множества вещественных чисел.

1.1.2. Л.2.Верхние и нижние грани числовых множеств.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Верхняя и нижняя грани числовых множеств, их свойства. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Полнота множества вещественных чисел. Счётность множества рациональных чисел, несчётность множества вещественных чисел. Множество вещественных чисел как метрическое пространство.

1.1.3. Л.3.Предел числовой последовательности и его свойства.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Определение предела числовой последовательности. Единственность предела. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами и арифметическими действиями.

1.1.4. Л.4.Монотонные последовательности.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Пределы монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса. Число е. .Подпоследовательности. Частичные пределы.

1.1.5. Л.5.Частичные пределы последовательностей.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса (принцип компактности отрезка). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности.

1.2.1. Л.6.Предел функции и его свойства.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Предел вещественной функции вещественного аргумента. Определение предела по Гейне и Коши, их эквивалентность. Свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметическими действиями. Первый и второй замечательный пределы.

1.2.2. Л.7.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Предел по базе.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Критерий Коши существования предела функции. Предел функции по базе. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Бесконечно малые и бесконечно боьшие функции.

1.2.3. Л.8.Асимптотическое поведение функций.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: «О-о» -символика..Основные эквивалентные функции. Метод выделения главной части.

1.2.4. Л.9.Непрерывность функции в точке.(АЗ: 2, СРС: 0,5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс