rpd000007818 (230700 (09.03.03).Б1 Прикладная информатика в технических системах), страница 2

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Линейные функции на линейных пространствах. Сопряженное пространство. Строка линейной функции, линейная форма. Связь строк в разных базисах. Второе сопряженное пространство. Ковариантные и контравариантные базисы, векторы и координаты. Изоморфизм исходного и второго сопряженного пространств.

2.Определения ориентированного параллелепипеда и его объема. Объем как внешняя форма, связь его со специальным геометрическим объектом . Свойства коэффициентов этого объекта. Определение псевдотензоров, операции над ними.

3.Линейные функции на евклидовых пространствах, теорема Рисса (без д-ва), изоморфизм исходного и сопряженного пространств. Связь строки функции и столбца присоединенного вектора.

4.Пространство тензоров на евклидовых пространствах, его базис. Связь компонент тензора в различных базисах, жонглирование индексами. Свертка тензоров, скалярное произведение вектора на тензор.

5. Контравариантный базис и ковариантные координаты вектора в евклидовом пространстве. Матрица перехода от ковариантного к ковариантному базису. Связь матрицы преобразования в ковариантном базисе с матрицей со-пряженного преобразования в контравариантном базисе

6.Полилинейная функция, присоединенная к тензору, обобщенная теорема Рисса. Метрический тензор. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве. Дискриминантный тензор. Векторные произведения вектора и тензора.

7.Понятие о перестановках, инверсия, транспозиция, четность перестановки, дискриминантный символ.

8.Инварианты тензора. Алгебраические инварианты тензора второго ранга. Квадратичная функция и линейное преобразование, порожденное тензором. Главные направления и главные значения тензора. Тензорная поверхность, главные оси тензора. Шаровой тензор и девиатор.

9.Определения полиад и тензорного произведения линейных пространств. Некоммутативность и ассоциативность тензорного произведения. Тензорное произведение как линейное пространство (без д-ва). Свертка контравариантного и ковариантного векторов, левая свертка контравариантного вектора с полиадой и тензором, определения, свойства.

10.Тензорное поле в точечном евклидовом пространстве, криволинейные координаты, -мерные поверхности. Локальный базис, касательное пространство, метрический тензор. Допустимые преобразования координат. Матрицы перехода между локальными базисами.

11.Теорема о базисе тензорного произведения линейных пространств. Размерность тензорного произведения. Компонентная форма записи арифметических действий над тензорами. Пространства тензоров типа , определение, базис, размерность, форма записи компонент тензоров.

12.Символы Кристоффеля II рода, ковариантные производные контравариантных и ковариантных координат вектора, скаляра. Ковариантные производные компонент тензора. Свойства ковариантных производных: производная суммы и произведения, теорема Риччи, производные как компоненты тензора.

13.r - мерные матрицы типа , определение, арифметические действия. Изоморфизм линейных пространств матриц и тензоров (без д-ва). Связь компонентов тензора в разных базисах

14.Свойства символов Кристоффеля: закон изменения при переходе к другой системе координат, симметрия, связь с метрическим тензором, символы Кристоффеля I рода, внутренняя свертка по верхнему и нижнему индексу.

15.Геометрические объекты, изоморфизм линейных пространств гео-метрических объектов и тензоров (без д-ва). Произведение тензоров, его инвариантность, свойства. Полиада как произведение векторов.

16.Определение риманова пространства. Условия евклидовости пространства. Тензор Римана-Кристоффеля, связь с метрическим тензором, симметрия. Повторное ковариантное дифференцирование в евклидовом пространстве.

17.Геометрические объекты, изоморфизм линейных пространств гео-метрических объектов и тензоров (без д-ва). Произведение тензоров, его инвариантность, свойства. Полиада как произведение векторов.

18.Дифференциальные операторы в криволинейных координатах: дивергенция, ротор, градиент, оператор Лапласа. Интеграл от тензора, обобщенная теорема Остроградского-Гаусса

19.Полилинейная функция, определение, действия над ними, линейное пространство полилинейных функций. Определение коэффициентов и матрицы полилинейной функции. Координатная форма действий над полилинейными функциями.

20.Ортогональные координаты, параметры Ламе. Символы Кристоффеля в ортогональных координатах. Физические компоненты тензора

21.Изоморфизм пространств тензоров и полилинейных функций. Теорема о представлении полилинейной функции в виде свертки ее тензора и полиады аргументов. Тензорное произведение полилинейных функций, определение, свойства. Теорема о базисе пространства полилинейных функций (без д-ва).

22. Абсолютный дифференциал тензорного поля, параллельный перенос вдоль кривой. Поверхность как риманово пространство. Объем и интеграл от скалярной функции в римановом пространстве.

23.Симметрические и кососимметрические полилинейные функции и тензоры, определения, их подпространства и коэффициенты. Транспонированный тензор. Разложения полилинейной функции в сумму симметрической и кососимметрической (без д-ва).

24. Изотропные направления и кривые. Геодезические линии. Многогранник Френе в римановом пространстве. Трехгранник Френе в R^3 . Формулы для векторов главной нормали, бинормали и кручения при естественной параметризации кривой (без д-ва). Формулы для векторов трехгранника кривизны и кручения при произвольной параметризации кривой (без д-ва).

25.Операции симметрирования и альтернирования полилинейных функций, определение, свойства (повторное альтернирование без д-ва). Симметри-рование и альтернирование тензоров. Координатная форма операций симметрирования и альтернирования.

26.Поверхности в R^3 : нормальный вектор, первая квадратичная форма. Нормальная кривизна кривой на поверхности, вторая квадратичная форма поверхности, теорема Менье.

27.Операции симметрирования и альтернирования полилинейных функций, определение, свойства (повторное альтернирование без д-ва). Симметри-рование и альтернирование тензоров. Координатная форма операций симметрирования и альтернирования.

28.Индикатриса Дюпена, главные направления и главные кривизны, средняя и Гауссова кривизны. Теорема о существовании главных ортогональных координат на поверхности (без д-ва). Асимптотические линии.

29.Внешнее произведение, определение, линейность, явный вид (без д-ва). Коэффициенты внешнего произведения. Косокоммутативность и ассоциа-тивность (без д-ва).

30.Деривационные уравнения. Формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци (без д-ва). Теорема Боне.

31.Свойства системы линейных функций. Теорема о базисе пространства внешних форм, следствия. Вид внешней формы, порядок которой совпадает с размерностью пространства.

32.Дифференциальные операторы в криволинейных координатах: дивергенция, ротор, градиент, оператор Лапласа. Интеграл от тензора, обобщенная теорема Остроградского-Гаусса

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука,

1974. - 320 с.

2. Вестяк А.В., Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Алгебра и аналитическая геометрия.

Ч. 1: Учебник для вузов - М.: Изд-во МАИ, 2002. - 460 с.

3. Вестяк А.В., Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Алгебра и аналитическая геометрия.

Ч. 2 - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 544 с.

4. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В.. Основы тензорного анализа и

механика сплошной среды: Учебник для вузов. / Под редакцией академика РАН

Климова Д.М. - М.: Наука, 2000. – 214 с.

5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984. - 336 с.

7. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической

геометрии и линейной алгебре. - М.: Наука, 1987. - 496 с.

б)дополнительная литература:

8. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1999. - 294 с.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 431 с.

10. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ,

1990. - 328 с.

11. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Из-во МГУ, 1974. - 223 с.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и

приложения. — М.: Наука, 1979.

14. Финников С.П. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во МГУ, 1961.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Аудитория для проведения лекционных занятий.

2. Аудитория для проведения практических занятий.

3. Локальная вычислительная сеть кафедры с выходом в Internet

4. Программа тестирования знаний и комплекты электронных тестов.

5. Наглядный учебно-методический материал (стенды, плакаты, презентации).

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Тензорный анализ »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Тензорный анализ является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Прикладная информатика. Дисциплина реализуется на 3 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 311.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ПК-21 ,ПК-22.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: умением применять методы тензорного анализа к решения задач алгебры, механики, математической физики

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: промежуточная аттестация в форме Экзамен (2 семестр).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (36 часов), практические (18 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (27 часов) самостоятельной работы студента. В курсе "Тензорный анализ" рассматриваются такие разделы,как:полилинейные функции,тензорная алгебра,внешние формы,тензоры в евклидовом пространстве,тензорный анализ,элементы дифференциальной геометрии

Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Тензорный анализ »

Cодержание учебных занятий

1. Лекции

1.1.1. Лин-ые функции на ли-ых пространствах.Сопряженное 2-ое сопряженн.пространство,их изоморфизм.Строка лин-ой функции,лин-ая форма.Связь строк в базисах (АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.1.2. Пон-ие о перестановках,инверсиях,транспозициях.Полилинейные функции.Симметрические и кососимметрические полилинейные функции.(АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.2.1. Опр-ия полиад и тензорного произв-ия лин-ных пространств.Некоммутативность и ассоциативность тензорного произв-ия.Размерность тензорного произведения(АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.2.2. Линейные функции на евклидовых пространствах,изоморфизм исходного и сопряженного пространств.Контравариантный базис и координаты вектора.(АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.2.3. Внутренняя свертка тензоров, определение, координатная форма.Свертка и полнаясвертка тензоров,свойства.Признак тензора.Изоморфизм пространств тензоров(АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.2.4. Тензорное произведение полилинейных функций,определение,свойства.Теорема о базисе пространства полилинейных функций.Транспонированный тензор.(АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

1.3.1. Внешние формы и поливекторы, определение,их коэффициенты,произведение,антикоммутативность и ассоциативность,Теорема о базисе пространства (АЗ: 2, СРС: 1)

Тип лекции: Информационная лекция