rpd000000414 (210700 (11.03.02).Б1 Системы мобильной связи), страница 4

4.3. Доказать, что матрицы ортогональные, т.е. :

а) ; б) .

4.4. Решить матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) , где , , ;

г) , где , , ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

Указания: в) уравнение преобразовать к виду , , ; г) уравнение преобразовать к виду , , .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

Системы линейных уравнений.Метод Гаусса.doc

Занятие 5. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. Структура общего решения однородной системы.

5.1. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

Указания: г) , ; ж) , , , ; з)  , , , , . Ответ: а) ; б) , ; в) ; г) нет решений; д)  , , ; е)  , , ; ж) , , ; з) , , , .

5.2. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) б) в)

г) д)

е) ж)

з) и)

Указания: г) , ;

д) ; е) ;

ж)  , .

Ответ: а) ; б) система несовместна; в) , ; г) , , ; д) система несовместна; е)  ; ж) , , ; з)  , , , ; и) , , , , . В пп."в","ж","з","и" формулы общего решения определяются неоднозначно.

5.3. Найти фундаментальную систему решений и записать структуру общего решения:

а) б) в)

г) д)

Ответ: а) , ; б) , ;

в) , , ; г) , ,

; д) , , .

Фундаментальная система решений определяется неоднозначно.

5.4. Найти фундаментальную матрицу системы уравнений:

а) б) в)

Ответ: а) ; б) ; в) фундаментальной матрицы нет. В пп."а","б" фундаментальная матрица определяется неоднозначно.

5.5. Составить однородную систему уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной: а) ; б) .

Указания: матрица искомой системы уравнений является фундаментальной для системы . Ответ: а) ; б) Системы уравнений определяются неоднозначно.

Векторная алгебра.doc

Занятие 6. Векторы и линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

6.1. Разложить вектор по векторам и . Ответ: .

6.2. Разложить вектор по векторам и , если известны разложения векторов , , по базису , : , , . Ответ: .

6.3. Сторонами параллелограмма служат векторы и . Разложить по векторам и векторы , , , , где – середина стороны , а точка делит сторону в отношении .

Ответ: ; ; ; .

6.4. Сторонами треугольника служат векторы и . Разложить по векторам и векторы , , , , где – середина стороны , а – точка пересечения медиан треугольника .

Ответ: ; ; ; .

6.5. Векторы , , и заданы своими координатными столбцами

, , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , сами образуют базис пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Ответ: .

6.6. Вычислить , если известно, что , , , где и – взаимно перпендикулярные векторы, причем . Ответ: .

6.7. Найти единичный вектор , коллинеарный вектору . Ответ: .

6.8. Вычислить модуль и направляющие косинусы вектора .

Ответ: ; ; ; .

6.9. Вычислить угол между векторами ; . Ответ: .

6.10. Какой угол образуют единичные векторы , , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны? Ответ: .

6.11. Даны векторы ; . Найти ортогональную проекцию вектора на ось, заданную вектором , и ортогональную составляющую вектора относительно этой оси, а также алгебраическое значение длины проекции вектора .

Ответ: ; ; .

6.12. Даны векторы ; ; . Найти:

а) скалярные произведения , ;

б) векторные произведения , .

Ответ: а) ; 5; б) ; .

6.13. Даны векторы ; . Разложить вектор по векторам и . Найти:

а) координаты вектора в стандартном базисе;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) произведения , , ;

г) ортогональные проекции , вектора ;

д) алгебраические значения и длин проекций;

е) угол между векторами и ;

ж) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

6.14. Даны векторы ; ; . Разложить вектор по векторам , , . Найти:

а) координаты вектора в стандартном базисе;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) произведения , , , определить ориентацию тройки , , ;

г) ортогональные проекции , вектора ;

д) алгебраические значения и длин проекций;

е) угол между векторами и ;

ж) угол между вектором и плоскостью, содержащей векторы и ;

з) площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

и) объем параллелепипеда , построенного на векторах , , .

6.15. На векторах и построен треугольник . Требуется найти:

а) длины сторон треугольника;

б) величину угла ;

в) площадь треугольника;

г) координаты вектора (в стандартном базисе), где отрезок – высота треугольника.

6.16. На векторах , , построена треугольная пирамида (рис.8.25). Требуется найти:

а) длины ребер , , ;

б) величину угла ;

в) площадь треугольника ;

г) объем пирамиды ;

д) высоту пирамиды, опущенную из вершины ;

е) высоту треугольника , опущенную из вершины ;

ж) угол между ребром и плоскостью грани ;

з) величину угла между плоскостями граней и ;

и) направляющие косинусы вектора ;

к) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора на направление вектора ;

л) ортогональную проекцию вектора на прямую, перпендикулярную грани ;

м) единичный вектор (орт), имеющий направление вектора ;

н) вектор , имеющий длину вектора и направление вектора .

Собственные векторы и квадратичные формы.doc

Занятие 7. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

7.1. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) .

Ответ: а) , , , ; б) , , , ;

в) , ; г) , ; д)   , , , ;

е)  , , , , ; ж)   , , , , , ; з) , ; и) , , , . Собственные векторы матриц определяются неоднозначно.

7.2. Записать квадратичные формы в матричном виде, найти их ранги ( ) и дискриминанты ( ):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , .

7.3. Найти матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функций векторного аргумента:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б)  ; в) .

7.4. Найти точки локального экстремума функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) – точка локального минимума; б) – точка локального минимума; в) – точка локального минимума; г) нет точек экстремума; д) – точка локального максимума; е)  – точка минимума. Решение см. в [4], пример 6.13.

7.5. Привести квадратичную форму

к каноническому виду: а) методом Лагранжа; б) методом Якоби.

7.6. Используя критерий Сильвестра, найти, при каких значениях квадратичная форма положительно определена.

Алгебраические линии(прямые и плоскости).doc

Занятие 8. Алгебраические линии (прямые и плоскости).

8.1. Для прямой, проходящей через точки и , составить: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение; г) уравнение "в отрезках"; д) уравнение с угловым коэффициентом.

Ответ: а)  ; б)  ; в)  ;

г)  ; д)  .

8.2. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):

а) , ; б) , ;

в) ; г) , .

Ответ: а) пересекаются в точке ; б) перпендикулярны, пересекаются в точке ; в) параллельны; г) совпадают.

8.3. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне .

Ответ: ; ; ; .

8.4. Даны координаты двух вершин , треугольника и точки пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника. Ответ: .

8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с прямой угол величиной .

Ответ: или .

8.6. Заданы координаты вершин , , треугольника . Требуется:

а) составить уравнение серединного перпендикуляра к стороне ;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану ;

в) составить уравнение прямой, содержащей высоту ;

г) составить уравнение прямой, содержащей биссектрису ;

д) для прямой составить общее и нормированное уравнения, а также уравнение "в отрезках";

е) найти расстояние от начала координат до прямой ;