rpd000003750 (090900 (10.03.01).Б5 Безопасность телекоммуникационных систем), страница 2

Тематика: Применение апаарата математического анализа для исследования экономических моделей

Трудоемкость(СРС): 36

Прикрепленные файлы:

Типовые варианты:

-Дифференциальное исчисление ф.н.п. Вычисление производной по направлению, градиента функции, максимальной скорости роста функции в точке.

-Дифференциальное исчисление ф.н.п. Исследование на экстремум ф.н.п.

-Двойные интегралы и их приложения.

-Вычисление тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат

-Приложение криволинейного интеграла 1 рода.

-Приложение поверхностного интеграл 1 рода.

-Вычисление работы векторного поля.

-Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность.

-Нахождение области сходимости степенного ряда.

-Применение степенных рядов для приближенных вычислений

1. Рубежный контроль

1. Промежуточная аттестация

1. экзамен (модуль 1)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Понятие множества. Операции над множествами.

2.Предел функции. Необходимое условие существования конечного предела функции. Единственность предела функции.

3.Теорема о пределах основных элементарных функций.

4.Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции. Их свойства и связь между ними.

5.Арифметические свойства пределов функций.

6.Достаточное условие существования конечного предела монотонной последовательности. Число е.

7.Односторонние пределы.

8.Замечательные пределы и их следствия.

9.Сравнение функций. - и о-символика. Эквивалентные функции и их свойства. Таблица эквивалентных функций.

10.Непрерывность функции в точке, односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных в точке.

11.Непрерывность основных элементарных функций.

12.Точки разрыва и их классификация.

13.Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

14.Производная функции. Односторонние производные. Необходимое условие существования конечной производной.

15.Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой, заданной явно.

16.Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала. Необходимое условие, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

17.Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.

18.Общие правила дифференцирования

19.Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.

20.Производные основных элементарных функций. (Производные и дифференциалы высших порядков.

21.Дифференцирование функций, заданных параметрически. Уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.

22.Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа.

23.Правила Лопиталя-Бернулли

24.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

25.Формулы Маклорена для функций

26.Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Критерий постоянства функции на промежутке.

27.Необходимое условие экстремума; достаточные условия экстремума (с использованием производных первого и высших порядков). Отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

28.Достаточное условие выпуклости функции вверх и вниз на промежутке. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточное условие точки перегиба.

29.Определения асимптот. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

30.Определение первообразной и ее свойства.

31.Неопределенный интеграл. Определение и свойства. Таблица интегралов. «Неберущиеся» интегралы.

32.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

33.Интегрирование элементарных дробей. Разложение действительных многочленов на множители.

34.Схема разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей. Интегрирование произвольных рациональных дробей.

35.Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений. Рационализирующие подстановки.

36.Определение определенного интеграла и его свойства. Условия существования.

37.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

38.Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница.

39.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

40.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; длин дуг плоских и пространственных кривых; вычисление объемов тел по площади поперечного сечения и тел вращения; площадей поверхностей тел вращения.

41.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Понятия сходящегося и расходящегося несобственного интеграла. Эталонные несобственные интегралы

2. экзамен (2 модуль)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Дать определение функции двух и более переменных, области определения, линии уровня. Дать определение предела функции двух и более переменных.

2.Непрерывность функции нескольких переменных

3.Дать определение частных производных. Определить и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

4.Дифференцируемость функции нескольких переменных. Теорема о необходимых условиях дифференцируемости.

5.Теорема о достаточном условии дифференцируемости функции двух переменных (формулировка).

6.Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Пояснить геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

7.Теоремы о производной сложной функции.

8.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Определение и вычисление производной скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля, определение и свойства

9.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства).

10.Дать определение производных и дифференциалов высших порядков. Вывести формулу дифференциала второго порядка для функции двух переменных.

11.Неявные функции (определение). Достаточное условие существования неявной функции (без доказательства). Вывести формулы для производных неявно заданных функций двух и трех переменных.

12.Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (или кривой), заданной неявно.

13.Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Теорема о необходимом условии экстремума

14.Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.

15.Числовые ряды. Основные определения. Общие свойства рядов. Необходимые признаки сходимости рядов.

16.Достаточные признаки сходимости (и расходимости) неотрицательных рядов: ограниченность частичных сумм, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши.

17.Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда Лейбница.

18.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Формулировка свойств абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

19.Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема об интервале сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов в интервале сходимости. Арифметические операции над степенными рядами.

20.Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о единственности разложения. Теорема о необходимых и достаточных условиях разложимости; теорема о достаточных условиях разложимости функции в ряд Тейлора.

21.Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций (ex, cosx, sinx, 1/(1+x), ln(1+x), (1+x)).

22.Приближенные вычисления значений функций и интегралов с помощью рядов Тейлора.

23.Интегральное исчисление функций многих переменных. Двойной интеграл Римана. Вычисление двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

24.Вычисление двойного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.

25.Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования

26.Интегральное исчисление функций многих переменных. Тройной интеграл Римана. Вычисление тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.

27.Вычисление тройного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения тройного интеграла.

28.Понятие интеграла по мере. Измеримые множества. Свойства интеграла Римана.

29.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.

30.Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для различных способов задания кривой.

31.Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

32.Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для случаев проектирования на разные координатные плоскости.

33.Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

34.Векторные и скалярные поля. Построение криволинейного интеграла 2-го рода; вычисление в случае пространственной кривой.

35.Вихрь (ротор) векторного поля, его свойства. Символика Гамильтона.

36.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. Доказательство эквивалентности двух условий.

37.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. (необходимость и достаточность).

38.Потенциальное векторное поле. Пример нахождения потенциала. Проверка правильности нахождения потенциала.

39.Понятие ориентируемой и ориентированной поверхности, сторона поверхности. Согласование ориентации поверхности с обходом её границы.

40.Построение поверхностного интеграла 2-го рода, его физический смысл.

41.Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (через проекцию на плоскость, путем перехода к поверхностному интегралу 1-го рода)

42.Дивергенция векторного поля, её физический смысл.

43.Теорема Гаусса-Остроградского.

44.Теорема Стокса. Частный случай: формула Остроградского-Грина.

45.Функциональные пространства. Пространство интегрируемых в квадрате функций. Свойства тригонометрической системы функций: 1,sinnx,cosnx , на [-pi;pi], n=1,2,..

46.Разложение периодической функции в ряд Фурье. Вычисление коэффициентов Фурье. Условие Дирихле разложимости в ряд Фурье

47.Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.

48.Представление непериодических функций интегралом Фурье. Вычисление коэффициентов. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1 В.А. Зорич. Математический анализ. В 2-х ч. - М.: МЦНМО, 2002.

2 Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. В 3-х т. - М.: Дрофа 2004.

3 Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 2002.

4 Е.П. Иванова. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.-М.:МАИ, 2009

б)дополнительная литература:

5 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] – М.: Айрис-пресс, 2008

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

Программное обеспечение и интернет-ресурсы размещены на сайте каф. 805 «Математическая кибернетика»: www.dep805.ru (в разделах Учебная работа и учебно-методические материалы)

– Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Пределы.Производная.Интеграл" (автор Федорова Н.М.) (240,7 kb)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Комплексные числа" (автор Савостьянова Н.И.)

– Подготовка к контрольной работе по теме "Вычисление пределов" (152 kb)

- Электронная версия лекций по разделу "Ряды Фурье. Интергал Фурье" (автор Савостьянова Н.И.)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Криволинейный интеграл 1 рода" (автор Савостьянова Н.И.)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Криволинейный инеграл 2 рода" (автор Савостьянова Н.И.)

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Аттестованные компьютерные классы с установленным программным и методическим обеспечением.