03Pril_3_2010 (Медицинская техника (лекции)), страница 3

Следуя (7) можно утверждать, что искажения сигнала фильтром можно находить имея лишь его запись или график. Надо взять производные в интересующей точке и знать производные разложения частотной характеристики фильтра. Мы не только можем находить искажения, но и устранять их последующей обработкой. Значения производных частотной характеристики фильтра в точке Ф(0) принимают метрологическую нагрузку и могут записываться в паспорте прибора для использования и получения сравнимости результатов анализа, полученных на разных приборах.

Пусть входным сигналом для фильтра первого порядка с полосой пропускания 100Гц по уровню -3дВ является QRS импульс. Длительность импульса R по уровню 0.7 равна 20 мС. Тогда следуя /7/ искажение амплитуды в точке максимума R составит -2%. Это значение не столь мало, ибо обычно от усилителя в целом требуется 5% точность передачи сигнала.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Определение координат размещения источника

Важнейшей задачей измерений является определение координат источника сигнала в теле пациента. Первым возникает вопрос: сколько надо электродов или отведений для обеспечения физической возможности измерения координат в обьеме тела? Каждый электрод (с учетом оговорок о некорректности формул на границе тела) воспримет потенциал:

U_Д(R,φ) = (M_*ρ/8πR²)_*cos φ.

Здесь три неизвестные: R, M, φ. Кроме того знание радиуса R недостаточно, требуется указать точку, куда направлен R, т.е. три пространственные координаты диполя. Одно уравнение и пять неизвестных. Предположим мы устанавливаем ряд электродов, не лежащих в одной плоскости. Для двух электродов возникает дополнительная геометрическая связь: R₁²+R₂²+2R₁R₂cos(φ_2-φ₁)=D_12, где D₁₂-база отведения электродов 1 и 2. В целом для двух электродов мы имеем шесть неизвестных и три уравнения. Для трех электродов возникает три геометрические связи через D₁₂, D₁₃, D_23, для четырех электродов - шесть и т.д. Число уравнений становится равным числу неизвестных минимум для четырех электродов.

Конечно решать эти уравнения сложно даже применяя ЭВМ, при этом еще необходимо учитывать искажения поля, определяемые граничными условиями и неизотропностью тела. Поэтому используют не метод расчета, а метод моделирования. Строится модель проводящего тела с числом измерительных электродов существенно больше 4х и, зная одномоментные значения потенциалов на этом наборе электродов, методом последовательных итераций XYZ,М,φ,θ источника добиваются совпадения расчетных значений с измеренными. Параметры считаются измеренными. (Пакет программ МатЛаб). Чем больше электродов, тем лучше усредняются погрешности измерения. Так на практике происходит измерение координат источника. В электрокардиографии положение оказалось сложнее за счет того, что источник имеет вид ДЗС, а не диполя.

Приложение 6

Доказательство принципа взаимности

Принцип взаимности утверждает: коэффициент передачи потенциала от дипольного источника к приемным электродам не изменяется, если заряды излучающего диполя и приемные электроды поменяем местами, как показано на рис П.6.1 Действительно, пусть мы имеем диполь и биполярное отведение. Диполь представим как пару монополей: в этом случае принимаемое электродом "к" поле выражается как Uк=Е/Rк, где Rк- расстояние до к-го электрода. Заряды диполя расположены в точках 1м, 2м, а приемные электроды в точках 1э, 2э. Электродное отведение

примет сигнал от диполя (пары монополей) величина которого определена выражением:

U_1э2э=Е*(1/R_1м1э-1/R_2м1э)-Е*(1/R_1м2э-1/R_2м2э);

Если мы поменяем места электродов и диполя, то электроды отведения при новом расположении примут сигнал:

U_1м2м=Е*(1/R_1э1м-1/R_2э1м)-Е*(1/R_2м1э-1/R_2э2м));

Мы получили тождественно совпадающие выражения (для проверки достаточно раскрыть скобки и учесть, что R_1э1м=R_1м1э и т.д.): т.е. при смене электродов и зарядов коэффициент передачи не изменился.

Принцип взаимности может использоваться для нахождения потенциала на поверхности тела от внутреннего источника. Действительно, с учетом допустимости изменения ρ среды внутри любого русла тока, поле от поверхностных электродов точно рассчитывается по простым формулам изотропного пространства при наличии границы тело - воздух. Следовательно возможно достаточно точно рассчитать коэффициент передачи от внутреннего диполя к электродному отведению.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Простейшие элементы цифровой фильтрации

Основные понятия: Трансверсальный фильтр, рекурсивный, не рекурсивный фильтр, весовая функция фильтра, база фильтра, фильтрация как выделение коэффициентов наименее уклоняющегося полинома на скользящем интервале, децимация и изменение масштаба, композиция весовых функций, эквивалентность RC фильтра и рекурсивного фильтра, фазокомпенсированный фильтр, изменение граничной частоты с применением фазокомпенсированного фильтра. Вычитающий фильтр сетевой помехи. Совмещение дифференцирования и фильтрации, перестановочность линейных операций.

Возникновение ЭВМ определило особый круг методов обработки, называемый цифровой. Цифровая обработка абстрактна, не содержит времени, но для нас каждая группа отсчетов есть отображение исследуемого сигнала, взятого с конкретным интервалом выборки Т. Величина Т не используется программистами, она является масштабным коэффициентом, связующим цифровые точки и реальное время. Значение Т обязательно при интерпретации результатов после всех цифровых преобразований.

Общие свойства цифровой фильтрация Рис 7.1

Цифровой фильтр имеет наглядный эквивалент в виде линии задержки с отводами, в каждом отводе имеется весовой коэффициент перемножения (Рис П.7.2). Далее все парциальные отводы суммируются (мы получили так называемый "транверсальный" фильтр). На входе линии задержки (или на выходе, ибо система линейна и элементы перестановочны) должен стоять фильтр НЧ с идеально прямоугольной частотной характеристикой (его граничная частота 1/2Т, где Т равно задержке между отводами нашей линии). Отклик этого фильтра Тsin(πt/Т)/πt. Фильтр устраняет помехи от сигналов, имеющих частоту выше 1/2Т. В структуре могут присутствовать обратные связи, в этом случае фильтр называется рекурсивным. Если имеются только прямые связи - не рекурсивным. Для нахождения общей частотной характеристики трансверсального фильтра нагляднее сперва найти его отклик (подавая на вход испытательный δ-импульс), а частотную характеристику получать через преобразование Фурье этого отклика.

Полное значение числа отводов трансверсального фильтра называется базой N или окном фильтра . На базе (окне) формируется весовая функция фильтра. Формы весовых функций разнообразны, но если выделяется центральная часть с величинами, близкими к 1 (например с уровнем ≥ 0.7), то можно приближенно оценить полосу пропускания ΔF такого фильтра НЧ:

ΔF ≈ 1/N_0,72T,

где N_0,7 - число отводов с весами, близкими к 1, а Т - период взятия выборки АЦП. Форма весовой функции вне центральной части определяет поведение частотной характеристики в полосе задержания.

Если все весовые коэффициенты à_N заменить на коэффициенты (1-à_N), то получим сопряженный фильтр: ФВЧ вместо ФНЧ и наоборот.

Примеры простых, легко реализуемых фильтров

Фильтр с прямоугольным окном. Простейшим является не рекурсивный фильтр с прямоугольным окном. Схема показана на рис П.7.2с заменой линий задержки на операциями сдвига. Алгебраическая запись алгоритма фильтра имеет вид: .

На каждый такт нужно выполнить только три операции: заполнить основной и запаздывающий сумматоры, взять разность. Частотная характеристика такого ФНЧ имеет вид sinπx/x. Характерные точки фильтра (нули, полоса по уровню 0,7) так же показаны на рис П.7.3 Обычно нули частотной характеристики совмещают с частотой сетевой помехи (например, с частотой 50Гц. Если частота квантования АЦП равна 500Гц, расстояние между выборками 2мс, то при суммировании 10 выборок (требующих 9 сдвигов) мы получаем фильтр, давящий частоту 50Гц). Отметим другие характерные особенности: фазовая характеристика такого фильтра линейно ломанная. Для всех спектральных составляющих формируется одна величина задержки, а именно NТ/2.

Работу фильтра с прямоугольным откликом можно так же представлять как нахождение наименее уклоняющейся оценки коэффициента а^ интерполирующего полинома у=(а + бх) на скользящем интервале (см рис П.7.4). Оценка находится по формуле

, К=1,2,3..N, см рис П.7.3.

Таким образом есть три интерпретации структуры фильтра: 1) структурная по типу трансверсального фильтра. Эту же форму можно считать как представление фильтра интегралом свертки , если интеграл заменим набором сумм,

2) алгебраическая запись в виде разностного уравнения ,

3) в виде оценки постоянного члена а^ интерполирующего полинома на скользящем интервале.

Разные интерпретации позволяют наглядно выделять, что мы теряем и что подавляем в сигнале в результате фильтрации.

У каждого фильтра НЧ имеется сопряженный с ним ФВЧ. ФВЧ=(1-ФНЧ). Выходной сигнал такого фильтра формируется как остаток между графиком входного сигнала и графиком оценки a^, Частотная характеристика на рис П.7.3. Отметим, что начальный участок частотной характеристики такого фильтра имеет вид К(f)=f², т.е. прохождение сигнала через этот фильтр эквивалентно выделению второй производной.

Некоторые примеры параметров простейших фильтров представлены в таблицах 1.

Таблица 1. Частота квантования 1 кГц (d=1мс)

Граничная частота Гц	База (ФВЧ) рис 3	База (ФНЧ) рис 1	ФНЧ/ФВЧ рис 4
5		N=118	A=31
15	N=30	N=40	A=10
35	N=13	N=17	A=4
90	N=5	N=6 (99Гц)
100	N=5	N=6
250	N=2	N=2

Частотные характеристики

Рекурсивные фильтры рис П.7.5.

Это фильтры с обратными связями. Фильтры первого порядка показаны на рис П.7.5. П.7.6 Они соответствубт фильтрам Батерворда первого порядка. Его отклик и частотные характеристики соответствуют таковым у RC цепочки с постоянной времени τ_RC=Ткв(а+1) (1/а - величина ослабления сигнала в цепи обратной связи при рекурсивном суммировании). Алгебраическая запись