Лаб1Апр2008 (Теория к лабам 19 страниц по БВМиС. 46 страниц теория дальнейших лекций), страница 4

6.4. Содержание отчета.

1. Наименование и цель работы.

2. Задание: выражение F, значения констант, диапазоны изменения входных переменных,

3. Описание процедуры выбора масштабов.

4. Распечатки программ моделирования вычислений на ЭВМ с дробной арифметикой и результатов счета.

5. Графики зависимостей , , . (По оси ординат использовать лога­рифмический (десятичный) масштаб).

6. Выводы: оценка правильности выполнения работы по критериям, упомянутым в п. 6.3.

Рис. 2.

7. Примеры масштабирования алгоритма.

Рассматриваются примеры масштабирования алгоритма вычисления арифметического выражения

F = [(X - Y) * а] + [(W + Z) / В], при

А = 2,4; В = 0,65;

X = 50,0 248,0; Y = 5,0 24,8;

W = 50,0 248,0; Z = 2,0 9,8

тремя рассмотренными в разделе 4 методами. Абсолютные значения предельных ошибок представления исходных величин определяются на основе заданной для данного примера величины относительной ошиб­ки δ = 0,01:

А = 0,024; В = 0,0065;

Х = 0,5; Y = 0,05;

W = 0,5; Z = 0,02.

Введем рекомендованные выше обозначения;

D = X - Y; Е = W + Z;

G = D * A; H = .

Масштабируемое выражение при этом примет следующий вид: F = G + Н.

7.1 Метод постоянных масштабов.

Так как величины G и Н связаны между собой операцией сложе­ния, то М_G = М_H , а это означает, что масштабы М_А, М_В, М_D, и М_Е свя­заны между собой уравнением

В этом случае три из четырех масштабов могут быть выбраны в соответствии с правилами, изложенными в разделе 1, а четвёртый должен быть вычислен из этого уравнения. Например, если мы выбираем масштабы M_В, М_D, и M_Е , то масштаб М_А вычисляется по формуле

.

Корректное вычисление масштаба М_А проверяется по условиям 4: L_А  М_А  Р_A, где L_A и Р_A - соответственно левая и правая гра­ницы диапазона возможных масштабов величины А. Вычисление М_А должно быть осуществлено точно, т.е. без округления бесконечной десятичной дроби, т.к.такое округление вносит методическую погрешность в вычисления заданной величины F на целевой ЭВМ.

1. Выбор М_В

2. Выбор М_Е

3. Проверка операции деления

т.е. условие выполняется.

4. Выбор М_D

5. Вычисление М_А

6. Проверка корректности М_А

Условие не выполняется,

Для выполнения данного условия необходимо:

1. либо увеличить М_B или М_D не менее чем в 1,2 раза;

2. либо уменьшить М_Е во столько же раз.

Выполнить п.1 не представляется возможным, поэтому выбираем новое значение . Тогда

7. Проверка условия (8а):

Условие (8а) выполняется.

8. Проверка условия

Так как условие не выполняется, необходимо более чем в 1,3345 раз уменьшить (или ) и принимаем:

Таким образом, итоговые значения масштабов следующие:

Проверка правильности выбора масштабов по критериям п. 6.3 осуществляется с помощью моделирующей программы, распечатка которой представлена в Приложении 1.

7.2.Метод ступенчатого масштабирования.

1. Разбиение алгоритма на три части:

1. G=(X-Y)*A;

2. H=(W+Z)/B;

3. F=G+H.

2. Масштабирование I части (методом постоянных масштабов, независимо от других частей):

а) Выбор М_А:

б) Выбор М_D:

3. Проверка условия (8а):

Условие (8а) выполняется.

4. Масштабирование II части (методом постоянных масштабов, независимо от других частей):

а) Выбор М_В:

б) Выбор М_Е:

в) Проверка дополнительного условия при делении:

Проверяемое условие выполняется, следовательно масштабы для II части алгоритма выбраны правильно.

5. Масштабирование III части: при выполнении операции суммирования (F=G+H) необходимо обеспечить выполнение следующих условий:

а) Проверка условия (1):

Условие(1) не выполняется, необходимо ввести коэффициент масштабирования K₁ величины Н, обеспечивающий приведение большего масштаба М_H к меньшему М_G:

Коэффициент перемасштабирования вводится в формулу вычисления машинного изображения величины Н (при сохранении ранее выбранных масштабов М_Е и М_В):

б) Проверка условия (2):

Условие (2) не выполняется, необходимо ввести коэффициент пе­ремасштабирования К₂, обеспечивающий одинаковое уменьшение мас­штабов M_G и М_Н:

Выбираем К₂ = 0,6 . Этот коэффициент вводится в формулы вычис­ления машинных изображений величин G и Н (при сохранении всех ранее выбранных масштабов М_А, М_B, M_D, М_Е и коэффициента К₁):

В результате арифметическое выражение для вычитания примет оконча­тельный вид:

при следующих значениях масштабов и коэффициентов перемасшта­бирования:

М_А = 0,4; М_B = 1,5;

M_D = 0,004; М_Е = 0,003;

К₁ = 0,8; К₂ = 0,6.

Таким образом, использование метода ступенчатого масштабиро­вания потребовало ввести два коэффициента перемасштабирования.

Алгоритм вычисления увеличился, по сравнению с алгоритмом, по­лученным с помощью метода постоянных масштабов, на три операции умножения. Строгое соблюдение порядка выполнения операций, опре­деленного в итоговом выражении для скобками, обеспечивает не только корректность, но и максимальную точность вычислений.

6. Проверка правильности выбора масштабов по критериям п.6.3. осуществляется с помощью моделирующей программы, распечатка ко­торой представлена в Приложении 2.

7.3. Метод переменных масштабов.

1. Выбор масштабов для всех исходных величин.

В данном методе эти масштабы выбираются примерно равными Р - правым границам диапазонов значений масштабов с округлением в сторону уменьшения для наглядности:

2. Определение коэффициентов перемасштабирования (КПМ) для операции D = X - Y .

а). Проверка условия М_х = M_Y .

Условие не выполняется, необходимо привести больший масштаб (m_y = 0,04) к меньшему (м_х = 0,004) с помощью коэффициента перемас­штабирования

который включается в формулу вычисления :

б). Проверка условия :

проверяемое условие выполняется.

3. Проверка условия (8а):

Условие (8а) выполняется, введение дополнительного КПМ не требуется.

4. Определение КПМ для операции Е = W + Z .

а) Проверка условия M_W = M_Z.

Условие не выполняется, необходимо введение КПМ

уменьшающего М_Z до М_W. КПМ К₂ вводится в формулу вычисления :

.

б) Проверка условия :

Условие не выполняется, необходимо введение КПМ одинаково уменьшающий масштабы представления W и Z:

Выбираем . Этот коэффициент входит в формулу вычисления :

5. Определение КПМ для операции G=D*A.

Проверка условия (8а):

Условие (8а) выполняется, введение дополнительного КПМ не требуется.

6. Определение КПМ для операции .

Проверка условия

Условие выполняется, КПМ вводить не требуется.

7. Определение КПМ для операции F=G+H.

а). Проверка условия :

Условие не выполняется , необходимо введение КПМ К₃, уменьшающего М_H до M_G:

Округление КПМ, выравнивающего масштабы слагаемых, вносит в вычитание дополнительную методическую погрешность, соизмеримую с ошибкой записи этого КПМ.

В данном примере при выборе методическая ошибка составит величину Для исключения методической ошибки изменим, в допустимых пределах, значения ранее выбранных масштабов и КПМ, таким образом чтобы выражался конечной десятичной дробью.

Если в этом выражении принять , то получим:

Этот коэффициент входит в формулу вычисления :

;

б). Проверка условия :

Условие не выполняется, необходимо ввести КПМ К₅, одинаково уменьшающий М_H и M_G:

Выбираем . Округление КПМ, уменьшающего результат, практически не вносит дополнительной ошибки.

Этот коэффициент входит в формулу вычисления :

Окончательный вид формулы вычисления с учетом всех введен­ных КПМ:

,

при следующих значениях масштабов и КПМ:

М_А = 0,4; М_B = 1,53; M_X = 0,004;

M_Y = 0,04; М_W = 0,004; М_Z = 0,1;

К₁ = 0,1; К₂ = 0,04; К₃ = 0,9;

К₄ = 0,68; К₅ = 0,6.

Таким образом, при масштабировании методом переменных масштабов потребовалось ввести 5 коэффициентов перемасштабирования. Алгоритм вычисления увеличился, по сравнению с алгоритмом, полученным с помощью метода постоянных масштабов, на 7 (!) операций умножения.

При реализации формулы вычисления следует строго соблюдать порядок выполнения операций, определенный скобками в представленном выше выражении, так как этот порядок обеспечивает не только корректность, но и наибольшую точность вычислений.

8. Проверка правильности выбора масштабов и коэффициентов перемасштабирования по критериям п.6.3 осуществляется с помощью моделирующей программы, распечатка которой представлена в Прило­жении 3.

8. Контрольные задачи по масштабированию алгоритмов.

Необходимо замасштабировать алгоритм вычисления арифметического выражения для реализации его на 16-ти разрядной ЭВМ с фиксированной запятой и дробной арифметикой (разрядность мантиссы числа k=15) одним из трех методов:

1) постоянных масштабов;

2) ступенчатого масштабирования;

3) переменных масштабов.

F = (XY)(WZ);

Промежуточные величины:

G = XY; H = WZ;

где: ,, - условные обозначения арифметических операций, выбираемых вместе с номером метода масштабирования из табл.3, в соот­ветствие с первой цифрой номера варианта задания;

X,Y,Z,W - входные переменные, диапазоны изменения которых выбира­ются из табл.4, в соответствие со 2-й цифрой номера варианта задания.