Лаб1Апр2008 (Теория к лабам 19 страниц по БВМиС. 46 страниц теория дальнейших лекций), страница 2

а) Масштабирование целесообразно проводить в три этапа:

- вычисление диапазонов изменения всех величин алгоритма и границ диапазонов возможных значений масштабов входных величин и констант;

- выбор масштабов величин, определение коэффициентов перемасштабирования;

- составление машинного алгоритма.

б) При определении очередности выбора масштабов старший приоритет присваивается величинам и выражениям, которые наиболее часто используются в алгоритме.

в) Увеличение масштаба в пределах диапазона возможных значений [L,P] приводит к увеличению точности представления изображений в заданной разрядной сетке машины.

г) Выбранные значения масштабов должны позволять сравнительно просто осуществлять переход от реальных величин к изображениям и обратно.

д) При составлении машинного алгоритма необходимо в арифметических выражениях исключить возможности деления на нуль, предусмотрев дополнительные ветви в алгоритме.

е) Если один из масштабов операндов вычисляется на основе значений ранее выбранных масштабов(в соответствии с уравнением связи между масштабами), то необходимо обеспечить получение точного значения этого масштаба, т.к. округление бесконечной десятичной дроби с относительной погрешностью вносит методическую погрешность реализации алгоритма на машине, соизмеримую с .

4. Методы масштабирования.

Существуют, по крайней мере, три метода масштабирования алгорит­мов:

- метод постоянных масштабов;

- метод ступенчатого масштабирования;

- метод переменных масштабов;

которые отличаются друг от друга методикой выбора масштабов, но базируются на одних и тех же формулах определения границ диапазонов [L, P] и правилах выбора и преобразования масштабов, рассмотренных в предыдущих разделах.

4.1. Метод постоянных масштабов.

Этот метод основан на последовательном анализе текста алгоритма с целью составления условий преобразования операндов, их изображений и масштабов, и выбора на основе этих условий таких (постоянных) масштабов входных, промежуточных и выходных величин и констант, которые остаются неизменными на протяжении всех арифметических вычислений в алгоритме.

Пример использования этого метода масштабирования приведен в разделе 7.1.

Использование метода постоянных масштабов позволяет получить наи­более эффективный машинный код алгоритма (программу на внутреннем язы­ке машины), т.к. не требует введения дополнительных операций перемасшта­бирования величин и соответствующих коэффициентов (дополнительных констант). Однако применение этого метода требует наибольшей квалифи­кации разработчика, проводящего масштабирование алгоритма.

4.2. Метод ступенчатого масштабирования

Этот метод основан на разбиении ис­ходного алгоритма на несколько частей, для каждой из которых методом постоянных масштабов независимо от других частей выбираются масштабы. При последующем объединении замасштабированных частей алгоритма осу­ществляется корректировка тех масштабов, которые нарушают те или иные правила выбора и преобразования масштабов, путем введения дополнитель­ных коэффициентов перемасштабирования. Операции умножения на эти коэф­фициенты вводятся в машинный алгоритм, что приводит к снижению эффек­тивности получаемого с использованием этого метода машинного кода (текста программы на внутреннем языке ЭВМ).

Пример использования этого метода масштабирования приведен в раз­деле 7.2.

Применение метода ступенчатого масштабирования позволяет упрос­тить процесс выбора масштабов и распараллелить работу по масштабирова­нию сложных алгоритмов между несколькими исполнителями.

4.3. Метод переменных масштабов

Является наиболее пригодным для формализации процесса масштабирования при создании средств автоматиза­ции программирования для ЭВМ с дробной арифметикой.

Масштабы всех констант и исходных данных выбираются максимально возможными, т.е. равными правой границе интервалов [L, P]:

(11)

При выполнении данной работы рекомендуется округлять значения в сторону более простых записей этих масштабов (например: при ).

Затем последовательно просматривается текст алгоритма и в тех операциях, в которых не выполняются условия преобразования масштабов, корректируются масштабы участвующих в этой операции операндов с по­мощью дополнительных коэффициентов перемасштабирования. Введение этих коэффициентов приводит к появлению дополнительных операций и констант в машинном коде – в программе ЭВМ, т.е. снижает эффективность машинного кода.

Пример использования этого метода масштабирования приведен в раз­деле 7.3.

5. Задание

Необходимо замасштабировать (тремя упомянутыми выше методами) ал­горитм вычисления величины F, заданный в виде арифметического выраже­ния :

F= [(X α Y) β A] γ [(W ε Z) η B];

где: α, β, γ, ε, η - условные обозначения арифметических операций, вы­бираемых из таблицы 1 в соответствии с первой цифрой варианта задания (1-я цифра задания - это номер строки в табл.1);

А, В - константы, значения которых выбираются также из табл.1;

X, Y, Z, W - входные переменные, каждая из которых изменяется в од­ном из семи заданных диапазонов:

1) 1,0 4,9; 2) 2,0 9,8; 3) 5,0 24,8;

4) 10,0 49,0; 5) 20,0 99,0; 6) 50,0 248,0;

7) 100,0 495,0.

Выбор варианта заданных диапазонов изменения переменных X, Y,Z,W осуществляется с помощью таблицы 2 путем выбора строки с номером, рав­ным второй цифре варианта задания.

Масштабирование заданного выражения необходимо осуществить в предположении его последующей реализации на шестнадцатиразрядной ЭВМ (n=16, k=(n-1)=15) с фиксированной запятой и дробной арифметикой. Ис­пользуемые в формулах (2) и (3) величины и (l-2^-k) при k=15 име­ют следующие значения: ; 1-2^-15 = 0,99997,

Относительная погрешность представления входных данных δ=0,01. С помощью этой величины определяются абсолютные значения предельных оши­бок представления входных величин

;

которые используются при определении левой границы диапазонов [L,P] по формуле (2).

Приняв следующие обозначения промежуточных величин:

D = Х α У; Е = W ε Z;

G = D β A; Н = Е η В;

масштабируемое арифметическое выражение будет иметь вид:

F = G γ H;

Двузначный номер индивидуального задания для каждого студента определяется с помощью таблицы псевдослучайных чисел, приведенной в Приложении 4.

Пример: для 5-го по списку студента (I=5) группы 03-519 (М=9)

номер задания - 54

В соответствии с этим номером (54) задание данного студента будет оп­ределяться 5-й строкой табл.1 и 4-й строкой табл.2 и будет следующим:

F = [(X+Y)/A]/[(W+Z)²]

А = 0,24 (В = 2 - возведение в степень 2).

X = 20,0 99,0; Y = 1,0 4,9; Z = 2,0 9,8;

W = 20,0 99,0.

Таблица 1

Условные обозначения: +, , *, /,  - сложение, вычитание, умно­жение, деление, возведение в степень.

Таблица 2

6. Порядок выполнения работы