86380 (Алгебраические кривые и диофантовы уравнения)

Алгебраические кривые и диофантовы уравнения

Ханспетер Крафт

Те, кому посчастливилось ходить на уроки математики ещё до введения теории множеств в школьную программу, несомненно, помнят теорему Пифагора, :

В прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис.1).

Эта теорема была известна в Вавилонии уже во времена Хаммурапи, а возможно, её знали и в древнем Египте, однако впервые она была доказана, по-видимому, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580–500 г. до н. э.) – личности довольно мифической. Это был мистик, учёный и политик аристократического толка. Он, должно быть, путешествовал по Вавилонии и Египту, а позднее на юге Италии, в Кротоне, собрал вокруг себя кружок увлечённых юношей, из которого и возникла пифагорейская школа. В настоящее время уже невозможно установить, какие достижения пифагорейцев принадлежат самому учителю, а какие следует приписать его ученикам.

Рис.1

Рис.2

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника ABC (рис.2) обозначены через a, b, c, причём сторона длины c находится напротив прямого угла. Теорема Пифагора утверждает справедливость равенства

(1)	a2 + b2 = c2.

Оно выполняется, например, если вместо a, b, c подставить числа 3, 4, 5, или 5, 12, 13, или 41, 140, 149. Такие решения уравнения (1) в целых положительных числах нашли уже пифагорейцы, и потому такие решения называют пифагоровыми тройками. Вполне возможно, что поиски этих троек и привели к теореме Пифагора. Впрочем, тройка (3, 4, 5) была известна значительно раньше, о чём свидетельствует, скажем, дошедший до нас диалог императора Чжоу-гуна (ок. 1100 г. до н. э.) и учёного Шан Гао ([2], стр. 54–65); более подробно о тройке (3, 4, 5) рассказывается в предыдущей лекции Ю. Рольфса.

Зададимся вопросом, сколько существует пифагоровых троек. Очевидно, умножая все три числа на любое целое n, можно из тройки (a, b, c) получить бесконечно много новых троек; из тройки (3, 4, 5) возникает таким образом последовательность троек (3, 4, 5) (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), ... . Поэтому уточним поставленный вопрос и будем искать простейшие пифагоровы тройки (a, b, c), т.е. те, у которых наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Решение этой задачи указал ещё Диофант из Александрии (ок. 250 г. н. э.):

Если n и m – два взаимно простых целых (положительных) числа, разность которых n – m положительна и нечётна, то (2nm, n2 – m2, n2 + m2) – простейшая пифагорова тройка, и любая из таких троек может быть найдена этим способом.

Первая часть утверждения легко проверяется непосредственной подстановкой; частные случаи этого «правила построения» пифагоровых троек были известны и раньше. Более сложно доказать, что таким образом получаются все простейшие тройки. Сейчас мы установим это с помощью геометрических соображений. Разделив равенство (1) на c², получим

(

a c

)

2

+

(

b c

)

2

= 1.

Поэтому каждая пифагорова тройка (a, b, c) дает решение уравнения

(2)	x2 + y2 = 1

Рис.3

в рациональных числах (дробях), а именно x = a/c, y = b/c; назовём такую пару рациональным решением уравнения (2). Наоборот, из всякого такого решения, если привести дроби x и y к общему знаменателю: x = a/c, y = b/c, где a, b, c – целые, тотчас возникает пифагорова тройка. Следовательно, наша задача сведена к определению рациональных решений уравнения (2). Это уравнение также хорошо известно из школы – оно задаёт на евклидовой плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом 1 (рис.3). Если рассмотреть прямую g с угловым коэффициентом l, проходящую через точку (0, –1):

(3)	g: y = lx – 1,

то координаты обеих точек пересечения S = (0, –1) и P_l = (x_l, y_l) прямой g с окружностью удовлетворяют уравнениям (2) и (3). Подставляя (3) в (2), получаем

(4)	(l2 + 1) x2 – 2lx = 0,

откуда можно найти координаты (x_l, y_l) точки P_l:

(5)	xl = 2l l2 + 1 , yl = lxl – 1 = l2 – 1 l2 + 1 .

(Легко убедиться подстановкой, что они являются решением уравнения (2).) При рациональных l эти решения, очевидно, будут рациональными. Обратно, если (x₀, y₀) – рациональное решение уравнения (2) и P₀ – соответствующая ему точка на окружности, то угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (0, –1) и P₀, рационален: l = (y₀ + 1)/x₀. Следовательно, (x₀, y₀) есть решение вида (5). Таким образом, доказано, что все рациональные решения уравнения (2) находятся по формулам (5) с рациональным l. Если записать l в виде дроби: l = n/m, то формулы (5) перепишутся так:

xl =

2nm n2 + m2

, yl =

n2 – m2 n2 + m2

.

Итак, любая пифагорова тройка представима в виде (2nm, n² – m², n² + m²), что и требовалось доказать.

Приведённый результат – лишь один из многих, содержащихся в «Арифметике» Диофанта. До нашего времени сохранились 6 книг этого сочинения; об их общем числе можно только строить догадки. Неизвестно также, кем был Диофант. Во всяком случае, его труд – одно из самых великолепных сочинений античной эпохи, в котором собраны весьма разнообразные задачи и часто с чрезвычайно остроумными решениями. (Более подробные сведения интересующийся читатель может найти в удачной книжечке Башмаковой [1].)

Именно сочинение Диофанта – изданное в 1621 г. в переводе Клода Гаспара де Баше де Мезирьяка (1581–1630) – дало повод Пьеру Ферма записать на полях перевода одно из самых достопримечательных и далеко поведших замечаний в истории математики:

«Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.» «Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашёл этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось».

Таким образом, большая теорема Ферма утверждает, что уравнение

(6)	an + bn = cn

ни при каком натуральном n, большем 2, неразрешимо в целых положительных числах.

Общее доказательство сформулированного утверждения не удалось найти до сих пор, несмотря на то что этим занимались поколения математиков. [Напомню, что лекции эти были читаны в 70-е годы, а Эндрю Уайлз и Ричард Тейлор опубликовали доказательство теоремы Ферма в 1995 г. Любой поисковик (search engine) выдаст кучу ссылок в Интернете на эту тему, я же приведу только одну публикацию – D.Goldfeld. "Beyond the Last Theorem", опубликованную в журнале "The Sciences". – E.G.A.] Вероятнее всего, Ферма ошибался, предполагая, что располагает решением. В 1908 г. Пауль Вольфскель завещал премию в сто тысяч марок тому, кто первым представит доказательство. В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее время составляет едва десятую часть первоначальной суммы (см. [15], лекция 1, пункт 7). К тому же, как указывает Г. Эдвардс в своей книге [5] о теореме Ферма, премия назначена лишь за доказательство предположения – контрпример не принесёт ни пфеннига!

Справедливость большой теоремы Ферма для некоторых частных случаев была установлена уже довольно давно: сам Ферма доказал неразрешимость уравнения (6) при n = 4, Л. Эйлер – при n = 3 (1770 г.), А. Лежандр – при n = 5 (1825 г.) и Г. Ламе – при n = 7 (1839 г.). Самые замечательные результаты здесь принадлежат, однако, Э. Куммеру (1810–1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В нашем столетии его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Д. Лемера и Э. Лемера, так что к настоящему времени неразрешимость уравнения (6) доказана (с использованием ЭВМ) для всех n £ 125000 (З. Вагштафф, 1976 г.; см. также [15], лекция 2, «Последние результаты»). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается посредством 37628 цифр, то поиски контрпримера к большой теореме Ферма представляются совершенно безнадёжным занятием!

Рис.4

Рассуждения, аналогичные проведённым при нахождении пифагоровых троек, показывают, что проблема Ферма сводится к определению рациональных решений уравнения

(7)	xn + yn = 1.

Рассмотрев на евклидовой плоскости кривую F_n, заданную этим уравнением, получим две качественно различные возможности в зависимости от чётности или нечётности n (см. рис.4). Кривая F_n называется кривой Ферма порядка n. Поэтому гипотеза Ферма означает, что на кривой F_n порядка выше 2 единственными рациональными точками (т.е. точками с рациональными координатами) являются точки пересечения с осями координат.

Сам собой напрашивается следующий общий вопрос:

	Каковы рациональные точки кривой С на евклидовой плоскости, задаваемой произвольным алгебраическим уравнением
(8)	C: å aij xi yj = 0
	с целочисленными коэффициентами aij?

Порядок кривой C, т.е. максимальная из степеней i + j одночленов xⁱ y^j, входящих в уравнение (8), служит грубой мерой сложности кривой. Очевидно, что чем выше порядок, тем труднее найти рациональные решения уравнения (8). Это обстоятельство находит более точное выражение в гипотезе Морделла:

На кривой, порядок которой выше или равен четырём, имеется лишь конечное число рациональных точек.

Здесь следует сделать оговорку, что рассматриваются кривые «общего вида» ¹, а вырожденные случаи во внимание не принимаются.

Относительно справедливости гипотезы Морделла известно очень мало; единственным общим результатом здесь является теорема Зигеля ([16], 1929 г.):

На кривой общего вида, порядок которой выше 2, лежит лишь конечное число целых точек (точек с целыми координатами), т.е. у соответствующего уравнения (8) существует лишь конечное число целочисленных решений.

Для кривых малого порядка d картина следующая: при d = 1 имеем прямую и на ней бесконечно много рациональных (и даже целых) точек; при d = 2 получается квадрика (эллипс, парабола, гипербола); на квадрике либо совсем нет, либо бесконечно много рациональных точек ². Это доказывается тем же геометрическим методом, который выше был применён для нахождения рациональных точек на единичной окружности и который, согласно данным Башмаковой, также восходит к Диофанту ([1], § 5). И именно, прямая с рациональным угловым коэффициентом, проходящая через рациональную точку P квадрики, пересекает её в рациональных точках. Поворачивая прямую вокруг точки P, получаем бесконечно много рациональных точек (рис.5).

Рис.5

Рис.6

Случай d = 3 является в известном смысле промежуточным между рассмотренными. Как мы видели, на кривой Ферма F₃ (рис.4) лежат лишь две рациональные точки, а сейчас мы приведём пример кривой третьего порядка, на которой бесконечное число рациональных точек. Для этого воспользуемся следующим методом секущих, представляющим собой обобщение указанного ранее способа для квадрик (и этот метод тоже встречается у Диофанта; см. [1], § 6):

Если P и Q – две рациональные точки кривой C третьего порядка и прямая, проходящая через P и Q, пересекает кривую C ещё в одной точке R, то R также является рациональной точкой (рис.6).

Это утверждение доказывается очень просто. Если

(9)	g: y = rx + s

– уравнение прямой, проходящей через точки P и Q, то r и s – рациональные числа, ибо их можно выразить через координаты (x_P, y_P) и (x_Q, y_Q) точек P и Q по формулам

r =

yP – yQ xP – xQ

, s = yP – r xP =

xP yQ – yP xQ xP – xQ

.

Подставив (9) в уравнение кривой C, получим для x уравнение третьей степени

(10)	x3 + ax2 + bx + c = 0

с рациональными коэффициентами a, b, c. По условию корнями его являются абсциссы точек пересечения P, Q и R прямой g с кривой C, т.е. x_P , x_Q , x_R . Однако, зная корни уравнения, можно найти его коэффициенты совершенно так же, как это делается в школе для квадратного уравнения. Например, сумма корней, взятая с противоположным знаком, равна коэффициенту при x²:

xP + xQ + xR = –a.

По предположению x_P и x_Q рациональны, поэтому рациональным будет и x_R , а значит, и y_R = r x_R + s, т.е. R – рациональная точка, что и требовалось доказать.