86423 (Методы интегрирования), страница 3

Называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению с отмеченными точками отрезка .

Опр. 3. Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого найдется число такое, что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр которого имеет место соотношение

для любого набора

То этот предел называют определенным интегралом от функции по сегменту и обозначают

Опр. 4. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке, если существует предел вида II, причем функция называется подынтегральной функцией, число - нижний предел интегрирования, число - верхний предел интегрирования. Множество интегрируемых на функций будем обозначать

Пример 1. Вычислить исходя из определения интеграла .

Решение: по определению при , .

Разобьем отрезок [0,1] на n равных частей точками деления Длина каждого частичного отрезка причем

В качестве точек возьмем правые концы частичных отрезков

Составим интегральную сумму

Предел этой интегральной суммы при равен

Следовательно,

Свойства определенного интеграла:

I. Теорема I: Если и – интегрируемые на отрезке функции, то их линейная комбинация интегрируема на данном отрезке, причем

, интегрируема на

Если < < и то , и имеет место равенство < <

Сформулируйте остальные свойства определенного интеграла.

Теорема Ньютона-Лейбница.

Если -ограниченная, с конечным множеством точек разрыва функция, то где -любая из первообразных функций на отрезке [a,b].

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение: функция определена на R.

Замечание: Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения.

Эта формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции лишь тогда, когда равенство выполняется на всем отрезке .

Например, при вычислении интеграла нельзя брать в качестве первообразной функции , так как при нарушается равенство ( при это равенство имеет место). При функция разрывна и не может быть первообразной.

Пример 3. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение: Нет, нельзя! Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, . Но подынтегральная функция и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, применение здесь формулы Ньютона-Лейбница незаконно.

Варианты

Вычислить интегралы: 1) – с помощью предельного перехода от интегральных сумм;

2)-7) по формуле Ньютона – Лейбница.

Вопросы к лабораторной работе №7

Что называется определенным интегралом от функции на отрезке ?

Зависит ли величина определенного интеграла от способа разбиения ? А от выбора промежуточного значения точек ?

Каков геометрический смысл интегральной суммы определенного интеграла?

Укажите необходимое условие интегрируемости функции.

Как составляются суммы Дарбу? Какими свойствами они обладают?

Как связаны суммы Дарбу с интегральными суммами при фиксированном разбиении?

Каковы основные свойства определенных интегралов?

Сформулируйте и докажите теорему о среднем. Каков ее геометрический смысл?

Используя теорему о среднем, докажите непрерывность определенного интеграла с переменным верхним пределом как функции верхнего предела.

Известно, что непрерывная в данном промежутке функция всегда имеет в нем первообразную. Из какого свойства определенного интеграла это следует?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Утверждение 1: Если и дифференцируемы на отрезке с концами и ; то справедливо соотношение:

,

где

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение: положим , т. к. функции непрерывны и имеют производные на отрезке .

Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим

Замена переменной в определенном интеграле.

Утверждение 2: Если непрерывно-дифференцируемое отображение отрезка a< t такое что и , то при любой непрерывной на [ ; ] функции , функция непрерывна на отрезке [a;b] и справедливо равенство .

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение: Применим подстановку считая , что функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, так как она непрерывно – дифференцируема, монотонна и и так , так как на промежутке . Таким образом

Варианты

Вычислить интегралы:

Вопросы к лабораторной работе №8

При каких условиях применима формула замены переменной в определенном интеграле?

Выведите указанную формулу.

Приведите пример определенного интеграла, который можно вычислить по формуле замены переменной. Вычислите его.

Почему справедливо сделанное выше замечание?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции = , ( і0), двумя прямыми = , = и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции = , в (рис.1), вычисляется по формуле :

рис 1.

Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции и и двумя прямыми = , = (рис.2), определяется по формуле :

рис. 2

Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью и параболой

Решение:

найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений

рис. 3

Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы , 0ЈxЈ2 и окружностью.

Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной (считая x функцией от ), в частности

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения = , = , прямыми = , = и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :

где пределы интегрирование находятся из уравнений на отрезке .

Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от до должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример2. Найти площадь петли кривой

Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t= ; y=0 при t=0, t= .Следовательно, получаем следующие точки:

при t=1; при t=-1;

при t=0; при t= .

Точка является точкой самопересечения кривой. При

При (рис.4).

График функции ; , при

Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами где - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле:

Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Окружности пересекаются при ; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча .

График функции ; , при

Следовательно, ее площадь можно вычислять так:

Варианты

Вопросы к лабораторной работе №9

Какая фигура называется квадрируемой? Какие вы знаете условия квадрируемости?

Какими свойствами обладает квадрируемая фигура?

Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывными кривыми и , при условии, что для ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10

Геометрические приложения определенного интеграла

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением , то длина ее дуги равна , где и – абсциссы концов.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями то

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если задано полярное уравнение гладкой кривой то

Пример I. Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки (4;8).

Решение: имеем 3/2,

Пример 2. Найти длину астроиды .

Решение: имеем

откуда .

Пример 3. Найти длину кардиоиды >0.

Решение: имеем

откуда .

Варианты

Вопросы к лабораторной работе №10

Какая кривая называется спрямляемой? Что называется длиной дуги?

Всякая ли ограниченная кривая имеет конечную длину? Приведите пример.

Сформулируйте необходимое и достаточное условие спрямляемости плоской жордановой кривой.

Как вычисляется длина дуги в декартовых и полярных координатах?

ЛИТЕРАТУРА

Зорич В.А. Математический анализ, ч.I – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981

Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа, ч.I – М.: Наука, 1971

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.I, II, III. – М.: Наука, 1969

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.I. – М.: Высшая школа, 1981

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. В двух частях. Ч.I.

Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985

Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Вышейшая школа, 1969

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964

Куницкая Е.С., Рывкин А.З., Смолянский М.Л. Задачник – практикум по математическому анализу. Ч.II Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Просвещение, 1968

Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2003