86423 (Методы интегрирования), страница 2

Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского

Метод Остроградского позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

Пусть имеем правильную дробь , которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые множители

(*)

Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида:

(1)

или

(2)

Если (или ) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (1) или (2) , кроме первой, преобразуются по формуле

или

Объединяя все результаты, окончательно придем к формуле вида

(3)

Рациональная часть интеграла , получена от сложения выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель имеет разложение

Что касается дроби , оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложение дробей вида I и II (Л. Р.№2), так что она тоже правильная и . Очевидно , Q= (см.(*)).

(3)называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме

(4)

Так как производная содержит все простые множители, на которые разлагается, то является наибольшим общим делителем и , так что может быть определено по этим многочленам (последовательным делением). Тогда определяется простым делением на . Обратимся к определению числителей и в формуле (4).

Для этого используем метод неопределенных коэффициентов.

Перепишем (4) в виде:

(5)

Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю , сохранив целым числитель. Именно,

, (6)

где означает частное . Освобождаясь от общего знаменателя , придем к тождеству двух многочленов (сравни (5) и (6)).

Пример.

Имеем

.

Откуда

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях , получим:

Таким образом,

=-

Варианты

Вычислить интегралы:

В-1

Вопрос к лабораторной работе №4

1. В чем заключается метод Остроградского и когда им пользуются?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Интегрирование тригонометрических функций

Дифференциалы вида

, (I)

где - рациональная функция от двух переменных, могут быть приведены к более простому виду с помощью подстановки

.(*)

При этом используется формулы из тригонометрии:

; ;

Тогда:

; ; (**)

Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример1. Вычислить интеграл

Решение: Сделаем подстановку , пользуясь (**), получим

=

В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.

Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. , то она может быть приведена к виду , содержащему лишь четные степени .

Если же, наоборот, при изменении знака функция так же меняет знак, т.е. , то она проводится к виду .

Рассмотрим три случая:

1. Пусть теперь меняет знак при изменении знака , тогда

и рационализация достигается подстановкой .

2. Аналогично, если меняет знак при изменении знака , то

,

так что здесь целесообразна подстановка .

3. Предположим, наконец, что функция не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и : . В этом случае, заменяя на будем иметь: . По свойству функции R , если изменить знаки и (отношение при этом изменяется):

а тогда, как мы знаем .

Поэтому

=

Поэтому здесь используется подстановка .

Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение , его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака , второе меняет знак при изменении , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков и . Разбив на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку , ко второму - подстановку и, наконец, к третьему - подстановку . Таким образом, для вычисления достаточно этих трех подстановок.

Пример 2. Вычислить интеграл:

Решение: =

Если в выражение подставим в место , то дробь изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение: в этом случае можно сделать замену .

=

Интегралы от квадратов и других четных степеней и находят, применяя формулы понижение степени:

.

Задача. Интегрируя по частям, вывести формулы понижения степени:

Варианты

Вычислить интегралы:

В-1

Вопросы к лабораторной работе №5

1) Назовите универсальную подстановку, с помощью которой всегда достигается рационализация дифференциала вида (1) , и покажите, как ею пользоваться.

2) В каких условиях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

3) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

4) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой

?

5) Что такое «интегральный логарифм», «интегральный синус» и «интегральный косинус»?

6) Выведите рекуррентные формулы для вычисления интегралов вида .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегрирование выражений вида

Рассмотрим интеграл вида

, (1)

где означает рациональную функцию от двух аргументов, - натуральное число, постоянные, причем . Полагаем

;.

Интеграл (I) примет вид: здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как - рациональные функции.

Вычислив этот интеграл как интеграл от рациональной функции, вернемся к старой переменной, подставив .

К интегралу вида (I) сводятся и более общие интегралы

где все показатели – рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю , чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от и от радикала .

Пример 1.

Здесь дробно-линейная функция сводится к линейной функции:

Разложим данную дробь на простейшие

Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем числители, получим:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получим систему уравнений: . Решив систему, получим .

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальными называются дифференциалы вида

, (2)

где –любые постоянные, а показатели - рациональные числа.

Если - число целое, то мы получим выражение, изученное в I. Именно, если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей , то будем иметь выражение вида для рационализации которого достаточна подстановка .

Пусть - целое. Преобразуем теперь данное выражение подстановкой . Тогда и положив для краткости будем иметь

(3)

Если – целое число, то снова приходим к выражению изученного типа (2). Если обозначить через знаменатель дроби , то выражение будет иметь вид Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть сразу подстановкой:

Пусть - целое.

Перепишем второй из интегралов (3) так: При – целом снова имеем случай (2). Преобразованное выражение имеет вид: Подынтегральное выражение рационализируется сразу подстановкой .

Оба интеграла (3) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел: ; или одно из чисел ,

Пример 3. , где .

т. к. , то имеем 2-й случай интегрируемости.

Заметив, что , положим

Пример 4. , где - третий случай интегрируемости, т. к. Заметив, что положим

III. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.

Рассмотрим интеграл

(*)

где квадратный трехчлен не имеет равных корней.

Пусть >0. Тогда полагают . Возводя это равенство в квадрат, найдем отсюда:

Если полученные выражения подставить в (*) , то вопрос сведется к интегрированию рациональных функции от . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить .

Пусть >0. В этом случае можно положить . Положим

Пусть имеем различные вещественные корни l и m .Тогда этот трехчлен разлагается на линейные множители Положим

Если подставить сюда , то получим

Применим 2-ую подстановку

; ;

=

Подставив получим

Варианты

Вычислить интегралы:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов

Опр. 1. Разбиением отрезка называется множество точек , таких что , внутри каждой части возьмем произвольную точку , набор точек называется разбиением с отмеченными точками

Обозначим

Опр. 2. Если функция определена на отрезке , а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма