49458 (ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем), страница 2

2.3.8 Определение следа

суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:

• tr (A) — след квадратной матрицы А.

2.3.9 Определитель матрицы

Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши +). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу.

2.3.10 Смена знаков у элементов матрицы и вектора

2.3.11 Задание комплексной матрицы и определение комплексно-сопряженной матрицы (ввести значок « ”»)

Выделение вещественных (Re) и мнимых (Im) составляющих элементов матрицы и восстановление комплексной матрицы по заданным матрицам из вещественных и мнимых элементов.

Комплексно-сопряжённая матрица

2.3.12 Операции со строками и столбцами матрицы

Задание матрицы с помощью столбцов:

Вычитание столбцов и строк:

2.3.13 Объединение матрицы А с вектором В и матрицы А с матрицей А

Используем функцию augment для объединения массивов, имеющих размеры m x n и m x p (то есть одинаковое число строк), расположенных бок о бок, образуя массив размеров m x (n + p).

Чтобы объединить два массива, располагая их друг над другом, ипользуется функция stack для объединения массивов, имеющих размеры m x n и p x n (то есть одинаковое число столбцов) , образуя массив размеров (m + p) x n .

2.3.14 Сортировка элементов вектора и матрицы

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

• sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания ;

• csort(A,i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-го столбца в порядке возрастания;

• rsort(A,i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементов i-й строки в порядке возрастания;

• reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;

  • v — вектор;

  • А — матрица;

  • i — индекс строки или столбца.

Если элементы матриц или векторов комплексные, то сортировка ведется по действительной части, а мнимая часть игнорируется.

2.3.15 Разложение матрицы на треугольную, ортогональную

L U-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричное разложение вида P A=L U и, где L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы (нули выше диагонали и ниже), соответственно. P,A,L,U — квадратные матрицы одного порядка.

• lu(A) — LU-разложение матрицы;

  • А — квадратная матрица.

Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравнений производится при ее решении численным методом Гаусса.

Функция LU-разложения выдает составную матрицу. Выделить матрицы P,L,U несложно при помощи встроенной функции submatrix.

QR-разложением матрицы А называется разложение вида A=Q R, где Q — ортогональная матрица, а R — верхняя треугольная матрица.

• qr(A) —QR-разложение;

  • А — вектор или матрица любого размера.

Результатом действия функции qr(A) является матрица L, составленная из матриц Q и R, соответственно. Чтобы выделить сами матрицы QR-разложения, необходимо применить функцию выделения подматрицы submatrix.

2.4 Использование матричных функций

2.4.1 Собственные значения и векторы собственных значений матрицы

а) Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения

Пусть X и Y – векторы. А- квадратная матрица, оператор преобразования Х в Y. Часто бывают случаи, когда необходимо найти вектор ҳ и значение скаляра λ такие , что А· ҳ = λ·ҳ. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений λ1, λ2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,...Значение скаляра λ носит название собственных значений квадратной матрицы А. Его можно получить из характеристического уравнения матрицы А.

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

Его корни: называются собственными числами матрицы А.

Их сумма равна сумме диагональных элементов матрицы А (или следу матрицы А)

Исходная матрица:

Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4

Находим корни характеристического уравнения:

след сумма собственных чисел и матрицы

б) Определение вектора, элементами которого являются собственные значения матрицы с помощью функций Mathcad.

Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

eigenvals(A) — вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А; По умолчанию Mathcad отобразит три знака после запятой. Если необходимо увеличить точность собственных чисел матрицы, то необходимо воспользоваться командами: Format-Number главного меню и указать в окошечке Displayed Precision (3) желаемое число знаков после запятой (от 0 до 15).

2.4.2 Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы

а)Вычисление матрицы, содержащей нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А

• eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;

  • n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;

для устранения ошибки округления увеличили точность до 8 знаков после запятой.

б)Вычисление собственного вектора для матрицы А и заданного собственного значения λ

Данную функцию применим к действительным собственным значениям.

Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена для значения λ0 . Причем проверка правильности выражения Ах=λх проведена дважды — сначала на числовых значениях х и λ, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.

Вычисление собственного вектора для матрицы А и λ3.

Как мы видим, в этом случае собственные вектора и матрица собственных векторов матрицы А, имеют численные значения, отличающиеся знаками. Однако это не меняет общности поставленной задачи, так как речь идёт о пространстве, в котором находятся собственные вектора матрицы А.

2.4.3 Приведение заданной матрицы к диагональному виду

В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций, например:

• diag(v) — создаст диагональную матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектора v;

Рассмотрим вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А.

Для квадратной матрицы А часто бывает необходимо найти, если это возможно, такую квадратную матрицу, чтобы выполнялось условие:

Р^{-1 ·}А·Р = L

Здесь L представляет собой квадратную матрицу diag (λ₁, λ₂……. λ_n) , где λ₁, λ₂…… λ_n являются собственными значениями матрицы А.

Найденная выше матрица Р содержит нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения.

Матрица векторов собственных значений матрицы А приводит ее к треугольному виду:

3. Выводы по работе

В результате выполнения практической работы №1 были изучены возможности математического пакета MathCad в среде Windows с целью дальнейшего использования матричной алгебры в инженерных расчетах электротехнических систем. Были изучены и повторены основные моменты теории матриц. Изучены способы задания векторов и матриц в среде MathCad. Я научился работать с массивами, векторами и матрицами, применял векторные и матричные операторы и функции. Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поиска собственных векторов и собственных значений матрицы. Для решения таких задач в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы. Применение матричных функций намного облегчает расчёты по теоретическим основам электротехники, теории автоматического управления и другим дисциплинам. Как оказалось, особенно просто в MathCad работать с комплексными числами и полиномами высших порядков. Решение характеристических уравнений выдаётся в виде векторов, которые можно далее преобразовывать с помощью матричной алгебры, представленной в MathCad.