47276 (Исследование линейных систем), страница 5

poles_s1_r

%Проверка правильности вычислениЯ матрицы динамики при домашней подготовке

%путем вычислениЯ ее собственных чисел и сравнениЯ их c poles_s1_r

disp ('Cобств. числа матрицы динамики разомк. сис-мы (из домашней подготовки)');

poles_s1_r_dp = eig([-47/48 1/48 0; 1 0 0; 0 1 0])

%Желаемые полюсы замкнутой системы (задаютсЯ после анализа расположениЯ

%полюсов разомкнутой системы)

disp ('Желаемые полюсы замкнутой системы');

poles_s1_z_g = [-2+2*j; -2–2*j; -0.25]

%Расчет матрицы обратных свЯзей L, реализующей желаемое расположение

%полюсов замк. сис.

[L_s1, PREC_s1, MESSAGE_s1] = PLACE (A_s1_r, B_s1_r, poles_s1_z_g);

disp ('Матрица обратных свЯзей');

L_s1

%Матрица динамики замкнутой системы

A_s1_z = A_s1_r-B_s1_r*L_s1;

%Матрицы B, C, D замкнутой системы

B_s1_z = B_s1_r;

C_s1_z = C_s1_r;

D_s1_z = D_s1_r;

%Описание замкнутой системы в ss‑форме

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

%Расчет коэффициента усилениЯ по командному сигналу (должен обеспечивать

%единичную статику)

W_s1_z = tf (sys1_z);

[num_s1, den_s1] = tfdata (W_s1_z, 'v');

disp ('Коэффициент усилениЯ по командному сигналу');

%Вычисление коэффициента усилениЯ по командному сигналу

%как отношениЯ свободных членов полиномов знаменателЯ и числителЯ,

%передаточной функции замкнутой системы, т.е. последних элементов

%в векторах коэффициентов знаменателЯ и числителЯ

Kv_s1 = den_s1 (length(den_s1))/num_s1 (length(num_s1))

%Описание итоговой замкнутой системы в ss‑форме

B_s1_z = Kv_s1*B_s1_r;

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

%Фактические собственные числа итоговой замкнутой системы

%(сравнить с заказанными)

[zeros_s1_z_f, poles_s1_z_f, koef_s1_z_f] = zpkdata (zpk(sys1_z), 'v');

disp ('Нули и полюсы замкнутой системы с синтезированным управлением');

zeros_s1_z_f

poles_s1_z_f

%Рисунок, отображающий расположение нулей и полюсов до и после

%замыканиЯ обратных свЯзей

figure

plot (real(poles_s1_r), imag (poles_s1_r), 'rs', real (zeros_s1_r), imag (zeros_s1_r), 'ro')

hold on

plot (real(poles_s1_z_f), imag (poles_s1_z_f), 'bs', real (zeros_s1_z_f),…

imag (zeros_s1_z_f), 'bo', 'MarkerSize', 14)

grid on

title ('Расположение нулей и полюсов до и после замыканиЯ обратных свЯзей')

xlabel ('real(z)');

ylabel ('imag(z)');

legend ('poles of sys1 (razomk)', 'zeros of sys1 (razomk)',…

'poles of sys1 (zamkn)', 'zeros of sys1 (zamkn)', 0);

%переходный процесс в замкнутой системе c синтезированным управлением

ltiview({'step'}, sys1_z, t_end);

grid on

%вызов модели

open_system ('sys1_mod.mdl');

%запуск моделированиЯ

sim ('sys1_mod');

Назначение всех использованных при создании данной программы функций Matlab приводится в приложении.

Как следует из текста вышеприведенного файла, процедура модального синтеза управления предполагает выполнение следующих шагов:

• описание объекта (ввод исходных данных);

• преобразование описания объекта к ss‑форме и нахождение матриц A, B, C, D;

• вычисление нулей и полюсов ПФ разомкнутой системы;

• анализ расположения нулей и полюсов разомкнутой системы и назначение желаемых полюсов замкнутой системы;

• расчет матрицы обратных связей, реализующей желаемое расположение полюсов замкнутой системы;

• вычисление передаточной функции полученной замкнутой системы и коэффициента усиления по командному сигналу (т.е. как отношения свободных членов полиномов знаменателя и числителя передаточной функции замкнутой системы).

Результаты вычислений на каждом из этапов выводятся в командное окно.

Также в программе предусмотрено проведение ряда проверок (с использованием данных из командного окна): сравнение собственных чисел матрицы динамики разомкнутой системы, полученной в ходе предварительной подготовки, с собственными числами разомкнутой системы, рассчитанными в Matlab; проверка правильности работы процедуры расчета матрицы обратных связей – вычисление фактических значений полюсов полученной замкнутой системы и сравнение их со значениями желаемых полюсов.

Кроме того, по завершении процедуры модального синтеза будет выведено графическое окно с расположением нулей и полюсов системы на комплексной плоскости до и после замыкания обратных связей, построен график переходного процесса для замкнутой системы и запущена модель Simulink, содержащая структурную схему замкнутой системы.

Рис. 4.1. Структурная схема замкнутой системы в Simulink

а б

Рис. 4.2. Настройка параметров: а – моделирования; б – в блоке State-Space

В тексте описанного выше файла-сценария скорректировать исходные данные в соответствии с номером варианта, задать матрицу динамики, рассчитанную при домашней подготовке, и задать некоторое желаемое расположение полюсов замкнутой системы. Скорректировать описание объекта в блоке State-Space модели, если это необходимо. Запустить программу на выполнение, после чего проверить правильность предварительных расчетов и корректность работы встроенной в Matlab процедуры расчета матрицы обратных связей place. Убедиться в правильности описания замкнутой системы при помощи структурной схемы в Simulink, сравнив переходный процесс в графическом окне и на экране осциллографа. В случае отсутствия ошибок сохранить полученные файл-сценарий и структурную схему в файл.

Выявить взаимосвязь между расположением нулей и полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости и качеством процессов управления, варьируя желаемые собственные значения и фиксируя при помощи встроенных средств LTI Viewer (описание LTI Viewer см. в приложении) значения времени регулирования tp и перерегулирования (основных показателей качества переходного процесса). Величину допуска («трубки») принять равной 5%. Также необходимо фиксировать максимальные значения управляющего воздействия umax по осциллографу в модели замкнутой системы в Simulink. Результаты необходимо оформить, заполнив табл. 4.2, 4.3 и 4.4.

Выполнение этого пункта лабораторной работы может существенно облегчить следующий подход: стремиться располагать полюсы замкнутой системы таким образом, чтобы приблизить ее к системе 2‑го порядка, так как обеспечить требуемое качество управления в такой системе значительно проще; принимать во внимание тот факт, что значения показателей качества зависят от расположения на комплексной плоскости полюсов, ближайших к мнимой оси.

Тогда, во-первых, необходимо обеспечить расположение всех полюсов слева от мнимой оси (система должна быть устойчива в замкнутом состоянии); во-вторых, ближайшей к мнимой оси должна быть пара комплексно сопряженных полюсов, не считая полюсов, компенсирующих нули системы; в-третьих, все остальные полюсы должны находиться значительно левее, чтобы не оказывать влияния на характер переходной функции (соответствующие им моды будут обладать меньшим временем переходного процесса и вносить меньший вклад в выходной сигнал). Однако следует помнить, что чрезмерный сдвиг полюсов влево может привести к значительному увеличению коэффициентов обратных связей, росту пиковых значений управляющего воздействия и появлению нелинейных эффектов в реальных системах, поскольку для них всегда производится ограничение управляющего сигнала.

Изучение поведения систем второго порядка на примере колебательного звена показывает, что время переходного процесса определяется расстоянием пары комплексно сопряженных полюсов p_1,2 = j до мнимой оси (это время равно приблизительно утроенной обратной величине их действительной части, t_p3/||), а от соотношения ||/|| мнимой и действительной частей зависит колебательность процесса.

Таблица 4.2. Зависимость максимального значения управляющего воздействия от расстояния до мнимой оси наиболее удаленного от нее полюса замкнутой системы

Таблица 4.3. Зависимость времени регулирования от расстояния до мнимой оси ближайших к ней собственных значений замкнутой системы

Таблица 4.4 Зависимость перерегулирования от соотношения мнимой и действительной частей ближайших к мнимой оси собственных значений замкнутой системы

Данные таблиц представить в виде соответствующих графиков, используя средства Matlab. Сохранить графики в файл.

Обеспечить требуемое качество процессов управления в замкнутой системе: время регулирования t_р = 6 с, перерегулирование 15–20%. Сохранить протокол работы, выводимый в командное окно, расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости, переходный процесс и управляющий сигнал в замкнутой системе.