183630 (Производная и ее применение в экономической теории)

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет

РЕФЕРАТ

по высшей математике

на тему:

«Производная и ее применение в экономической теории»

Донецк – 2008

Вступление

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

1. Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Для любой точки х из этой окрестности приращение x определяется формулой x=х – х₀, откуда х=х₀+x.

Приращением функции y=f(x) в точке х₀ называется разность

у=f(x) – f(x₀)=f(x₀+x) – f(x₀).

Производной от функции у=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента ( ), когда приращение аргумента стремится к нулю (x→0).

Производная функции у=f(x) в точке х₀ обозначается y'(х₀) или f'(х₀). Определение производной можно записать в виде формулы:

'( )= = .

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х₀. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ бесконечную производную (равную или , соответственно).

1.1 Геометрический смысл понятия производной

Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см. рис. 1).

Рассмотрим на графике кривой точки M_o(x_o;f(x_o)) и M₁(x_o+x; f(x_o+x)). Проведем секущую M_oM₁. Пусть – угол наклона секущей M_oM₁ относительно оси 0х. Если существует предел , то прямая, проходящая через M_o и образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке M_o. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке M_o естественно понимать предельное положение секущей M_oM₁, к которому она стремится, когда x0.

Пусть N(x_o+x; f(x_o)) – точка, дополняющая отрезок M_oM₁ до прямоугольного треугольника M_oM₁N. Так как сторона M_oN параллельна оси 0х, то

Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при x→0, получим

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x₀) – это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (x_o; f(x_o)).

Найдём уравнение касательной к графику в точке M_o(x_o; f(x_o)) в виде y=kx+b. Так как M_o f(x), то должно выполняться равенство f(x₀)=kx₀+b, откуда b= f(x₀) – kx₀. Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f(x₀) – kx₀=f(x₀)+k(x – x₀).

Поскольку k=f'(x₀), то уравнение касательной имеет вид

y=f(x₀)+f'(x₀)(x – x₀).

Как вычисляют производную?

1. Записывают функцию в виде y=f(х).

2. Вычисляют y – приращение функции: у=f(x+x) – f(x).

3. Составляют отношение

4. Представляют, что x стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х₀).

5. Вычисляют производную в точке х₀: y'(х) = y'(х₀).

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Примеры дифференцирования:

y=a(x+x)² – ax²=2axx+ax²;

=2ax+x; =2ax, (ах²)'=2ax.

;

= ;

=3x², (x³)'=3x².

;

= – ,

1.2 Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(х) в точке х₀ называется линейная функция приращения вида

Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x₀). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Наличие конечной производной даёт возможность представить приращение функции в виде

где при . Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве (равная ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.

1.3 Применение производной к исследованию функций

Очень часто при решении экономических задач возникает необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т.д. При этом удобно пользоваться дифференциальным исчислением.

1. Возрастание/убывание функции

Если дифференцируемая функция y=f(х), х возрастает на интервале то f'(x₀) для любого х₀

Если дифференцируемая функция y=f(х), х убывает на интервале то f'(x₀) для любого х₀

2. Экстремумы функции

Точка х₀ из области определения функции f(х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая - окрестность точки х₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(х)> f(х₀).

Точка х₀ из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдётся такая - окрестность точки х₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(х)< f(х₀).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимые условия существования экстремума даёт теорема Ферма:

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая:

1. производная функции f'(x₀) не существует;

2. f'(x₀)=0.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода). Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Поэтому, чтобы выяснить, в каких точках функция имеет экстремум, необходимо знать достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(х) непрерывна в точке х₀ и в некоторой её - окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х₀. Тогда:

1) если производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с плюса на минус, то х₀ является точкой максимума.

2) если производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, то х₀ является точкой минимума.

3) если производная при переходе через точку х₀ не меняет знак, то в точке х₀ функция f(x) не имеет экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Если функция y=f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀, причём f'(x₀)=0, а f''(x₀) 0, то в точке х₀ функция f(х) имеет максимум, если f''(x₀)<0, и минимум, если f''(x₀)>0.

3. Выпуклость графика функции

График функции y=f(х), х (a,b) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (a,b), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).

График функции y=f(х), х (a,b) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (a,b), если график расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f'(x) возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (a,b) дважды дифференцируемая функция y=f(х), х (a,b) имеет отрицательную (положительную) производную второго порядка, то график функции является выпуклым вверх (вниз).